1. Giới thiệu về khái niệm tan và tầm quan trọng trong toán học

Trong chương trình toán học lớp 11, các hàm lượng giác đóng vai trò rất quan trọng, đặc biệt là hàm số tan. Hiểu rõ về tan không chỉ giúp các em giải quyết tốt các bài toán lượng giác, phương trình lượng giác mà còn là nền tảng để học các kiến thức đại số, giải tích và vật lý sau này. Việc hiểu vững khái niệm tan sẽ giúp các bạn áp dụng thành thạo trong các bài tập, kiểm tra, kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác về tan và ý nghĩa của nó

a) Định nghĩa qua tam giác vuông:

Cho tam giác vuông$ABC$với góc vuông tại$A$, gọi$\angle ABC = \alpha$. Khi đó, tan của góc$\alpha$ được định nghĩa là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc$\alpha$:

b) Định nghĩa qua đường tròn lượng giác:

Trên đường tròn lượng giác, xét điểm$M$với số đo cung$\alpha$. Khi đó:$\tan \alpha = \frac{y}{x}$(với$x \neq 0$), trong đó $(x, y)$là tọa độ điểm$M$.

c) Định nghĩa qua tỉ số các giá trị lượng giác:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\cos \alpha \neq 0)$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông$ABC$(vuông tại$A$),$AB = 3$,$AC = 4$. Tìm$\tan \angle ABC$.

Giải:

Với$\angle ABC$thì cạnh đối là $AC = 4$, cạnh kề là $AB = 3$. Vậy:

$\tan \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$

Ví dụ 2: Tính$\tan 45^\circ$.

Biết $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có:

$\tan 45^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng tan

• -$\tan \alpha$xác định khi$\cos \alpha \neq 0$. Khi$\cos \alpha = 0$(tức là $\alpha = 90^\circ + k180^\circ$với$k \in \mathbb{Z}$), giá trị $\tan \alpha$không xác định (vô nghiệm).
• -$\tan 0^\circ = 0$,$\tan 45^\circ = 1$,$\tan 90^\circ$không xác định.

5. Mối liên hệ của tan với các khái niệm lượng giác khác

- $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
- $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$(nếu$\sin \alpha \neq 0$).
- Công thức liên hệ tan của tổng, hiệu hai góc:

$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$

-$\tan (180^\circ + \alpha) = \tan \alpha$
-$\tan (-\alpha) = -\tan \alpha$

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

an(∠ABC) = \frac{4}{3} " title="Hình minh họa: Hình minh họa tam giác vuông ABC vuông tại A với các cạnh AB = 3, AC = 4, BC = 5; vẽ cung góc tại đỉnh B và biểu diễn an(∠ABC) = \frac{4}{3} " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Bài tập 1: Tính$\tan 30^\circ$.

Giải:

Biết $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên:

$\tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài tập 2: Cho$\triangle ABC$vuông tại$A$,$BC = 10$,$AB = 6$. Tìm$\tan \angle C$.

Giải:

$\angle C$là góc tại đỉnh$C$. Cạnh đối là $AB = 6$, cạnh kề là $BC - AB = 10 - 6 = 4$(giả sử $AC = 4$).

$\tan \angle C = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{4} = 1.5$

Bài tập 3: Cho biết$\tan a = 2$và $\tan b = 3$. Tính$\tan(a + b)$.

Sử dụng công thức:

$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = \frac{5}{1 - 6} = -1$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• - Nhầm lẫn giữa cạnh đối và cạnh kề: Khi xác định tan, luôn vẽ hình rõ ràng và xác định chính xác các cạnh liên quan đến góc đang xét.
• - Quên điều kiện xác định: Chỉ tính tan khi$\cos \alpha \neq 0$. Không được chia cho 0.
• - Nhầm lẫn công thức tính tan khi sử dụng các giá trị bảng lượng giác của các góc đặc biệt.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tan là tỉ số lượng giác giữa cạnh đối và cạnh kề trong tam giác vuông.

- Trong lượng giác, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$(khi$\cos \alpha \neq 0$).

- Khi vận dụng tan, cần chú ý điều kiện xác định để tránh sai sót.

- Tan có mối liên hệ chặt chẽ với cotang ($\cot \alpha$), sin, cos; và nằm trong các công thức cộng, trừ góc.

- Cần luyện tập nhiều bài tập để ghi nhớ và sử dụng thuần thục kiến thức về tan.