Giải thích chi tiết hàm tuyến tính uₙ = u₁ + (n-1)d và ứng dụng trong Toán 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tuyến tính$u_n = u_1 + (n-1)d$là một trong những kiến thức nền tảng mà học sinh lớp 11 cần nắm vững trong chương trình Toán học. Đây là công thức xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng – một chủ đề quan trọng xuất hiện rất nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi THPT và cả trong thực tiễn cuộc sống.

Việc hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán về dãy số, tìm số hạng bất kỳ hoặc tổng của các cấp số cộng – là nền tảng để học nâng cao về giải tích hoặc áp dụng vào các bài toán thực tiễn như: tính lãi khi gửi tiền theo kỳ hạn, bố trí kế hoạch công việc, lập lịch sản xuất,...

Bạn cũng có thể luyện tập với 42.226+ bài tập hàm tuyến tính$u_n = u_1 + (n-1)d$miễn phí ở cuối bài, giúp củng cố và kiểm tra tiến độ học tập dễ dàng!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa cấp số cộng: Là một dãy số mà hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi (gọi là công sai$d$):

$u_{n+1} = u_n + d$với mọi$n \geq 1$

• Số hạng tổng quát: Công thức xác định số hạng thứ $n$của dãy là:

$u_n = u_1 + (n-1)d$

• Các định lý chính: Mỗi dãy số chỉ cần biết số hạng đầu tiên$u_1$và công sai$d$là có thể xác định được mọi số hạng khác.

• Điều kiện áp dụng: Công thức chỉ đúng khi dãy cho là cấp số cộng và $n$là số nguyên dương.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cần thuộc lòng:

• $u_n = u_1 + (n-1)d$(số hạng tổng quát)
• $d = u_{n+1} - u_n$(công sai)
• $u_n = u_m + (n-m)d$(kết nối các số hạng bất kỳ)
• $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$(tổng$n$số hạng đầu)

Cách ghi nhớ hiệu quả: Hãy ghi lại công thức dạng khung, chú ý dấu$(n-1)d$luôn xuất hiện khi tìm số hạng tổng quát, và chỉ áp dụng khi dãy là cấp số cộng.

Các biến thể: Có thể gặp trường hợp chuyển đổi chỉ số (từ $u_k$sang$u_n$, từ $u_2$sang$u_5$…), cần áp dụng công thức linh hoạt:$u_n = u_k + (n-k)d$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho cấp số cộng$(u_n)$với$u_1 = 2$,$d = 3$. Hãy tính số hạng thứ 5 ($u_5$).

Giải:

• Áp dụng công thức số hạng tổng quát:$u_5 = u_1 + (5-1)d$
• Thay số $u_1 = 2$,$d = 3$vào ta có:$u_5 = 2 + 4 \times 3 = 2 + 12 = 14$

Lưu ý: Đọc kỹ đề để xác định đúng$u_1$,$n$và $d$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Biết cấp số cộng$(u_n)$thỏa mãn$u_3 = 7$,$u_7 = 15$. Hãy tính công sai$d$và số hạng$u_1$.

Giải:

• Áp dụng:$u_7 = u_3 + (7-3)d \Rightarrow 15 = 7 + 4d \Rightarrow 4d = 8 \Rightarrow d = 2$
• Tính$u_1$:$u_3 = u_1 + 2d \Rightarrow 7 = u_1 + 4 \Rightarrow u_1 = 3$

Kỹ thuật nhanh: Khi biết hai số hạng bất kỳ, dùng công thức$u_n = u_m + (n-m)d$ để tìm ẩn.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$d = 0$thì dãy là hằng số:$u_n = u_1$, mọi$n$
- Nếu$u_1$ âm hoặc$d$ âm, dãy giảm hoặc luân phiên tăng giảm.
- Nếu cho tổng$n$số hạng mà không cho$u_n$, dùng công thức$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$.

Khi gặp dãy số không đều, cần kiểm tra tính cấp số cộng trước khi áp dụng công thức.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm cấp số cộng với cấp số nhân.
- Viết sai chỉ số, nhầm$(n-1)d$với$nd$.
- Không kiểm tra$d$không đổi trước khi dùng công thức.

Cách ghi nhớ: Quán triệt$d$phải không đổi, công thức luôn là $(n-1)d$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Dấu ngoặc, dấu trừ sai.
- Nhầm$n-1$thành$n$.
- Tính nhẩm sai khi nhân hoặc cộng.

Cách kiểm tra: Đối chiếu lại số hạng đầu, thử lại với các giá trị nhỏ để kiểm tra kết quả có hợp lý không.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Khám phá ngay 42.226+ bài tập hàm tuyến tính$u_n = u_1 + (n-1)d$miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay, theo dõi tiến độ và xem lại lỗi sai để cải thiện kỹ năng!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Cấp số cộng: Dãy mà hiệu số liên tiếp không đổi.
• $u_n = u_1 + (n-1)d$là công thức then chốt, phải xác định đúng$u_1, d, n$.
• Luôn kiểm tra xem dãy có phải cấp số cộng chưa trước khi áp dụng.

Checklist nhanh trước khi làm bài:
- Xác định$u_1, d, n$rõ ràng
- Kiểm tra điều kiện cấp số cộng
- Lựa chọn công thức phù hợp
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải

Hi vọng với hệ thống luyện tập và lý thuyết chi tiết này, bạn sẽ làm chủ hoàn toàn các bài toán hàm tuyến tính$u_n = u_1 + (n-1)d$trong Toán 11!