Giải thích chi tiết khái niệm Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q): Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Công thức $S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}$là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 11. Nó giúp tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (CSN) – một dãy số mà mỗi số hạng (ngoại trừ số đầu) bằng số hạng đứng trước nhân với cùng một hằng số $q$.

Hiểu rõ công thức này không chỉ cần thiết trong học tập (bài kiểm tra, thi cử) mà còn có nhiều ứng dụng thực tế như tính lãi kép, tính lũy kế đầu tư, hoặc giải nhiều bài toán thực tiễn. Ngoài ra, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập, giúp nắm vững và thành thạo dạng toán này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Cấp số nhân (CSN) là dãy số có dạng$u_1, u_2, u_3,..., u_n$trong đó $u_{k+1} = u_k \cdot q$, với$q$(công bội) là hằng số không đổi.

- Tổng$n$số hạng đầu của CSN:$S_n = u_1 + u_2 +... + u_n$

- Công thức chính: $S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}, \quad (q \neq 1)$

- Điều kiện áp dụng: $q \neq 1$(Nếu$q=1$, dãy trở thành cấp số cộng đặc biệt, tổng$S_n = n \cdot u_1$).

- Biến số: $u_1$là số hạng đầu,$q$là công bội,$n$là số hạng cần tính tổng.

2.2 Công thức và quy tắc

- Cần ghi nhớ công thức: $S_n = u_1 \frac{1-q^n}{1-q}$(với$q \neq 1$)

- Nếu$u_1$và $q$là số thực,$n$là số tự nhiên,không được dùng công thức này với$q=1$.

- Biến thể: Khi biết số hạng$u_k = u_1q^{k-1}$, tổng$n$số hạng đầu cũng có thể viết:$S_n = u_1 + u_1q + u_1q^2 +... + u_1q^{n-1}$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho dãy cấp số nhân có $u_1 = 2$,$q = 3$. Tính tổng 4 số hạng đầu tiên.

Giải:

Áp dụng công thức:$S_4 = u_1\frac{1-q^4}{1-q}$

Thay số:

$S_4 = 2 \frac{1-3^4}{1-3} = 2 \frac{1-81}{-2} = 2 \frac{-80}{-2}=2 \times 40=80$

Vậy tổng 4 số hạng đầu là 80.

Lưu ý: Chú ý dấu khi$q>1$và mẫu số âm.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho dãy CSN:$u_1 = 5$,$q = \dfrac{1}{2}$. Tính$S_6$.

Giải:

$S_6 = 5 \frac{1-(1/2)^6}{1-1/2} = 5 \frac{1-1/64}{1/2} = 5 \frac{63/64}{1/2} = 5 \times \frac{63}{64} \times 2 = 5 \times \frac{63}{32} = \frac{315}{32}$

Lưu ý: Khi$q<1$,$q^n$rất nhỏ khi$n$lớn.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$q=1$thì $S_n = n \cdot u_1$(không dùng công thức chính).

- Nếu$u_1 = 0$,$S_n = 0$.

- Nếu$q=-1$thì $S_n$lần lượt là $u_1$nếu$n$lẻ,$0$nếu$n$chẵn (dãy lặp lại$u_1, -u_1$).

- Liên hệ với bài toán lãi kép, tăng trưởng lũy thừa, v.v.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm cấp số nhân với cấp số cộng.

- Hiểu sai công thức khi$q=1$.

- Không xác định được công bội đúng.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên dấu âm ở mẫu số khi$q > 1$.

- Sai lầm khi nhân chia luỹ thừa.

- Quên điều kiện áp dụng công thức.

Cách kiểm tra: Thay số lại vào dãy gốc, tính từng số hạng rồi tổng để check đúng sai.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q) miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng tính tổng n số hạng của cấp số nhân.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Dãy cấp số nhân:$u_1, u_2,..., u_n$với$u_{k+1} = u_k \cdot q$
• Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}$với$q \neq 1$
• Nếu$q=1 \to S_n = n \cdot u_1$
• Kiểm tra kỹ công bội$q$và số hạng đầu$u_1$trước khi áp dụng công thức
• Làm nhiều bài tập để tránh nhầm lẫn

Checklist trước khi làm bài: Xác định đúng$u_1$,$q$,$n$và kiểm tra điều kiện$q \neq 1$.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Ghi chú công thức, luyện tập đều, chú ý các trường hợp đặc biệt và kiểm tra kết quả bài làm.