Blog

Lớp 11

Giải thích chi tiết về khái niệm "tan" lớp 11: Định nghĩa, công thức, ví dụ, lỗi sai thường gặp và luyện tập miễn phí

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của tan trong toán học lớp 11

Trong chương trình toán lớp 11, tan (ký hiệu là tan hoặctan⁡\tan) là một trong 6 giá trị lượng giác cơ bản, bên cạnh sin, cos, cot, sec và cosec. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán lượng giác, hình học và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tiễn như đo đạc, tính toán góc nghiêng, vật lý, kỹ thuật.

Việc thành thạo tan còn giúp bạn mở rộng tư duy toán học, tăng khả năng giải quyết các bài toán phức tạp trong các đề kiểm tra, thi học kỳ hay thi THPT Quốc gia. Ngoài ra, bạn có thể thực hành ngay với 38.208+ bài tập tan miễn phí dưới cuối bài viết để nâng cao kỹ năng và củng cố kiến thức.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản về tan

• Định nghĩa: Trong tam giác vuông, tan của một góc nhọnα\alpha được định nghĩa là tỉ số của cạnh đối với cạnh kề:

• Trên đường tròn lượng giác, nếu điểmMMcó toạ độ M(x,y)M(x,y)trên đường tròn đơn vị thì:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

• Tan không xác định khicos⁡α=0\cos \alpha = 0(tức là α=90∘+k⋅180∘,\k∈Z\alpha = 90^\circ + k \cdot 180^\circ,\k \in \mathbb{Z}).

2.2 Công thức và quy tắc cần nhớ

  • 1.
  • Công thức cơ bản:
  • tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
  • 2.
  • Công thức góc cộng:
  • tan⁡(a±b)=tan⁡a±tan⁡b1∓tan⁡atan⁡b\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}
  • 3.
  • Công thức góc đôi:
  • tan⁡2a=2tan⁡a1−tan⁡2a\tan 2a = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}
  • 4.
  • Các giá trị đặc biệt:
  • tan⁡0∘=0\tan 0^\circ = 0,tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1,tan⁡90∘\tan 90^\circkhông xác định.

• Cách ghi nhớ hiệu quả: Liên hệ tan với định nghĩa tỉ số cạnh, sử dụng hình ảnh tam giác vuông hoặc đường tròn lượng giác.

• Điều kiện sử dụng: Các công thức về tan chỉ áp dụng khi mẫu số không bằng 0 (đặc biệt chú ý cos⁡α≠0\cos \alpha \neq 0).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tínhtan⁡30∘\tan 30^\circ.

  • Bước 1: Áp dụng công thức tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.
  • Bước 2: Tra bảng lượng giác: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Bước 3: tan⁡30∘=1232=13\tan 30^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

    • • Lưu ý: Khi giải bài tan, cần kiểm tra mẫu số khác 0.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Ví dụ: Tính giá trị biểu thứcA=tan⁡75∘A = \tan 75^\circ.

  • Sử dụng công thức góc cộng:75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ.
  • tan⁡75∘=tan⁡(45∘+30∘)=tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘tan⁡30∘\tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}
  • tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}
  • tan⁡75∘=1+131−1⋅13=3+133−13=3+13−1\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}

    • • Kỹ thuật giải nhanh: Nhớ công thức tan góc cộng hoặc sử dụng máy tính bỏ túi.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • • Tan không xác định tạiα=90∘+k⋅180∘\alpha = 90^\circ + k \cdot 180^\circ(cos⁡α=0\cos \alpha = 0).
  • • Nếutan⁡α=0\tan \alpha = 0thì α=k⋅180∘\alpha = k \cdot 180^\circ(k∈Zk \in \mathbb{Z}).
  • • Tan liên hệ với cot:tan⁡α=1cot⁡α\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}khitan⁡α≠0\tan \alpha \neq 0.
  • • So sánh với sin, cos: Tan có phạm vi giá trị từ −∞-\infty đến+∞+\infty.

    • Khi gặp các trường hợp đặc biệt, phải xác định điều kiện xác định của tan trước khi tính toán.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • • Nhầm lẫn giữa tan và cot: Tan là tỉ số cạnh đối/cạnh kề, cot là ngược lại.
  • • Hiểu sai định nghĩa trên đường tròn lượng giác.
  • • Nhầm tan với sin hoặc cos khi áp dụng công thức.

    • Giải pháp: Luôn nhớ tan liên quan đến tỉ số sin/cos và gắn với hình ảnh tam giác vuông.

    5.2 Lỗi về tính toán

  • • Quên kiểm tracos⁡α≠0\cos \alpha \neq 0khi áp dụng công thức tan.
  • • Lỗi nhân chéo và rút gọn sai ở các bài tan góc cộng.
  • • Nhập sai số liệu khi sử dụng máy tính.

    • Giải pháp: Kiểm tra lại từng bước, đặc biệt điều kiện xác định và thao tác tính toán.

    6. Luyện tập miễn phí ngay với 38.208+ bài tập tan miễn phí

  • • Cung cấp 38.208+ bài tập luyện tập tan miễn phí, bám sát chương trình lớp 11.
  • • Không cần tài khoản, chỉ cần truy cập và bắt đầu luyện tập.
  • • Theo dõi tiến độ học tập, xem lại đáp án ngay sau khi làm xong.

    • Truy cập ngay để rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức về tan!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • • Tan là tỉ số cạnh đối/cạnh kề hoặc sin/cos.
  • • Ghi nhớ các công thức tan cơ bản, góc cộng, góc đôi, giá trị đặc biệt.
  • • Luôn kiểm tra điều kiện xác địnhcos⁡α≠0\cos \alpha \neq 0.
  • • Ôn tập kiến thức bằng cách thực hành với nhiều dạng bài tan miễn phí.

    • Checklist kiến thức trước khi làm bài tan:
    - Nắm định nghĩa tan và các công thức
    - Biết xác định các giá trị đặc biệt của tan
    - Thành thạo cách biến đổi, áp dụng công thức
    - Kiểm tra kỹ điều kiện xác định

    Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Luyện tập đều đặn, làm nhiều bài mẫu, ghi chú các lỗi đã gặp, sử dụng hệ thống theo dõi tiến bộ khi luyện tập online.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Bài trước

    Chiến lược giải quyết Bài tập cuối chương VII Toán 11 (Quan hệ vuông góc trong không gian)

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".