Giải thích chi tiết về tan: Lý thuyết, công thức, ví dụ và luyện tập miễn phí cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tan (tang) là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt trong chủ đề lượng giác. Nắm vững kiến thức về tan giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán lượng giác, phương trình, bất phương trình và nhiều ứng dụng thực tế như giải tam giác, đo đạc, xây dựng và vật lý. Với hơn 42.226+ bài tập luyện tập tan miễn phí, bạn sẽ thành thạo kiến thức này một cách dễ dàng!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Tan của một góc nhọn$\alpha$trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề:
• \tan\alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}}
• Với góc bất kỳ, tan được định nghĩa theo hàm số lượng giác:
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
• Điều kiện xác định:$\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$.
• Tan là hàm số lẻ:$\tan(-x) = -\tan x$.

2.2 Công thức và quy tắc

• Các công thức cần thuộc:
• $\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}$
• $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$
• $\tan^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}$
• Ghi nhớ: Tan chỉ xác định khi mẫu số không bằng 0, tức$\cos x \neq 0$.
• Gợi ý ghi nhớ: Hãy vẽ vòng tròn lượng giác mô phỏng góc và cạnh để hình dung quy tắc.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

1. Bài toán: Cho tam giác vuông ABC tại A, có $AB = 3$,$AC = 4$. Tính$\tan \widehat{BAC}$.
2. Giải:
3. - \tan \widehat{BAC} = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} .
4. - Chú ý xác định đúng cạnh đối và cạnh kề theo góc đang xét.

3.2 Ví dụ nâng cao

1. Bài toán: Tính$\tan(x + y)$biết$\tan x = 2$,$\tan y = 3$.
2. Giải:
3. $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = \frac{5}{1 - 6} = -1$
4. Nhận xét: Kiểm tra điều kiện xác định, đảm bảo$\tan x \tan y \neq 1$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khi$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$($k \in \mathbb{Z}$):$\tan x$không xác định.
• $\tan(\pi + x) = \tan x$, [K$\tan(\pi - x) = -\tan x$
• Liên kết các hàm lượng giác khác:$\tan x = \frac{1}{\cot x}$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm tan với sin hoặc cos, cần nhớ rõ: tan liên quan cả đối và kề.
• Quên điều kiện xác định$\cos x \neq 0$.
• Nhập nhằng góc đối/kề, chú ý cách xác định trên hình vẽ.

5.2 Lỗi về tính toán

• Áp dụng sai công thức tổng, hiệu (nhớ dấu!).
• Tính toán nhầm mẫu số, quên kiểm tra mẫu số có bằng 0.
• Luôn kiểm tra lại kết quả với các giá trị đặc biệt hoặc bằng máy tính.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập kho 42.226+ bài tập tan miễn phí ngay tại đây! Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ và nâng cao kỹ năng giải toán lượng giác.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Tan là tỉ số đối/kề hoặc sin/cos.
• Điều kiện xác định:$\cos x \neq 0$.
• Công thức chính: tan tổng, hiệu, tan 2x.
• Đọc kỹ đề, xác định góc, kiểm tra mẫu số trước khi giải.
• Kiểm tra lại công thức và kết quả; luyện tập thường xuyên để thành thạo.