Khái niệm toán học "tan" lớp 11: Lý thuyết, công thức, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, "giá trị lượng giác của một góc" là chủ đề quan trọng, trong đó hàm số tan ($\tan$) là một trong các hàm số lượng giác cơ bản. Việc hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh không chỉ giải các bài toán lượng giác mà còn áp dụng vào nhiều bài tập thực tế như tính góc nghiêng, độ dốc, thiết kế kiến trúc,... Thấu hiểu khái niệm này còn tăng khả năng học tốt các môn tự nhiên khác và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ lý thuyết tan từ A–Z kèm cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập giờ đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa chính: Với góc$\alpha$, tan được định nghĩa:

Điều này cũng đồng nghĩa trong tam giác vuông, tan của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề:

• Điều kiện xác định:$\tan \alpha$xác định khi$\cos \alpha \neq 0$. Khi$\cos \alpha = 0$(góc$\alpha = 90^\circ + k180^\circ$với$k \in \mathbb{Z}$),$\tan \alpha$không xác định.

• Tính chất chính:$\tan(\alpha + k180^\circ) = \tan \alpha$(tuần hoàn chu kỳ $180^\circ$). Tan là hàm số lẻ:$\tan(-\alpha) = -\tan \alpha$.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cơ bản cần thuộc:

1. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

2.$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$

3.$\tan2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}$

4.$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

• Ghi nhớ công thức hiệu quả: Vẽ sơ đồ tư duy, hoặc liên kết với hình tam giác vuông để dễ hình dung.

• Mỗi công thức chỉ dùng khi điều kiện xác định (ví dụ: mẫu số $<br /> \neq 0$).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho tam giác vuông$ABC$tại$B$,$AB = 3$,$BC = 4$. Tính$\tan \widehat{BAC}$.

Giải:

- Cạnh đối với$\widehat{BAC}$là $BC = 4$, cạnh kề là $AB = 3$.

Lưu ý: Nếu nhầm vai trò cạnh đối – kề, kết quả sẽ sai!

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho$\tan \alpha = 2$. Tính$\tan 2\alpha$.

Áp dụng công thức góc đôi:

Kỹ thuật nhanh: Nếu$|\tan \alpha| > 1$, nên kiểm tra điều kiện để tránh chia cho 0.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi$\cos \alpha = 0$($\alpha = 90^\circ, 270^\circ,...$),$\tan \alpha$không xác định và bài toán cần được xử lý riêng, hoặc kết luận không tồn tại giá trị.

- Tan có mối liên hệ với cot:$\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}$khi xác định.

- Kết hợp cùng sin, cos để giải các bài lượng giác tổng hợp.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn tan với sin hoặc cos. Tan là tỷ số giữa sin và cos, không phải giá trị riêng biệt.

- Ghi nhớ dạng tỷ số cạnh (tam giác vuông) giúp phân biệt!

5.2 Lỗi về tính toán

- Dẫn đến kết quả vô lý do thay sai công thức hoặc không kiểm tra điều kiện xác định.

Cách kiểm tra kết quả: Đảm bảo mẫu số không bằng 0, giá trị phải phù hợp logic từng bài (ví dụ: tan góc nhọn phải dương).

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập tan miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập tan miễn phí ngay lập tức, theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng hiệu quả!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Công thức tan quan trọng cần ghi nhớ: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\tan(\alpha \pm \beta)$, $\tan2\alpha$.
• Nắm chắc điều kiện xác định:$\cos \alpha \neq 0$.
• Áp dụng tốt trong tam giác vuông (tỷ số cạnh) và giải bài toán lượng giác.

Checklist trước khi làm bài: Xác định đúng góc, kiểm tra điều kiện xác định, chọn công thức phù hợp.

Lập kế hoạch ôn tập hàng ngày, kết hợp lý thuyết và luyện tập bài tập tan miễn phí để học tan miễn phí, vững vàng trước mọi kỳ thi.