Blog

Lớp 11

Giải thích chi tiết: Tính chất hai mặt phẳng vuông góc (Toán lớp 11)

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Trong chương trình Toán học lớp 11, chương VII "Quan hệ vuông góc trong không gian" đóng vai trò quan trọng giúp học sinh hình thành tư duy hình học không gian. Một trong những kiến thức trọng tâm là Tính chất hai mặt phẳng vuông góc.

Hiểu rõ khái niệm này giúp bạn giải quyết các bài toán không gian, chứng minh hình học và ứng dụng nhiều trong thực tế như thiết kế xây dựng, kiến trúc, cơ khí, công nghệ... Đây còn là tiền đề để học tốt chương trình toán học ở các lớp trên và trong các kỳ thi lớn.

Hãy khám phá chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập Tính chất hai mặt phẳng vuông góc!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) gọi là vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng a nằm trong (P), vuông góc với mọi đường thẳng b nằm trong (Q) và cùng đi qua điểm giao của (P) và (Q).

• Định lý: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (Q) cùng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng này.

• Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng khi các mặt phẳng có giao tuyến xác định và hình học đúng trong không gian 3 chiều.

2.2 Công thức và quy tắc

- Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và (Q) chứa đường thẳng b, nếu a vuông góc với b và a vuông góc với giao tuyến d của (P) và (Q) thì (P) vuông góc (Q).

Công thức nhận biết: Nếun⃗1\vec{n}_1,n⃗2\vec{n}_2lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q), thì:

Cách ghi nhớ: Luôn liên hệ giữa vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng; nếu chúng vuông góc, hai mặt phẳng cũng vuông góc.

Biến thể: Một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng khác cũng đồng nghĩa vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh hai mặt phẳng(ABCD)(ABCD)và (ACC′A′)(ACC'A')vuông góc.

Lời giải từng bước:

  • Bước 1: Nhận dạng giao tuyến(ABCD)(ABCD)và (ACC′A′)(ACC'A')tại đường thẳngACAC.
  • Bước 2: LấyA′AA'Athuộc(ACC′A′)(ACC'A')và ABABthuộc(ABCD)(ABCD), chứng minhA′A⊥ABA'A \perp AB.
  • Bước 3: DoAB⊥AA′AB \perp AA'và ABABnằm trong(ABCD)(ABCD)cònAA′AA'nằm trong(ACC′A′)(ACC'A'), ta có (ABCD)⊥(ACC′A′)(ABCD) \perp (ACC'A').

    • Lưu ý: Luôn xác định giao tuyến trước rồi xét các đường vuông góc dễ nhận biết.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Trong không gian cho hai mặt phẳngP:x+2y+z=0P: x + 2y + z = 0và Q:2x−y+3z=0Q: 2x - y + 3z = 0. Chứng minhP⊥QP \perp Q.

  • Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến củaPPlà n⃗1=(1,2,1)\vec{n}_1 = (1,2,1); củaQQlà n⃗2=(2,−1,3)\vec{n}_2 = (2,-1,3).
  • Bước 2: Tính tích vô hướng:n⃗1⋅n⃗2=1×2+2×(−1)+1×3=2−2+3=3≠0\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 1 \times 3 = 2 - 2 + 3 = 3 \neq 0, vậy hai mặt phẳng không vuông góc.
  • MuốnP⊥QP \perp Qthì n⃗1⋅n⃗2=0\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0. Khi học sinh tính sẽ nhận ra trong trường hợp này, hai mặt phẳng không vuông góc.

    • Kỹ thuật giải nhanh: Luôn kiểm tra tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • Trường hợp mặt phẳng chứa giao tuyến song song hoặc trùng với một mặt phẳng khác; khi đó điều kiện vuông góc không đúng nữa.
  • Mối liên hệ: Hai mặt phẳng vuông góc sẽ sinh ra các đường thẳng đặc biệt vuông góc với nhau.
  • Trường hợp giao tuyến không xác định (hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau), không xét tính vuông góc.

    • 5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc.
  • Nhận diện sai giao tuyến hai mặt phẳng.
  • Cách phân biệt: Luôn xác định giao tuyến và các vectơ pháp tuyến.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Áp dụng sai công thức tích vô hướng của vectơ pháp tuyến.
  • Quên kiểm tra điều kiện giao tuyến xác định.
  • Phương pháp kiểm tra kết quả: Sau khi giải xong, nên vẽ hình phác hoặc xác minh lại điều kiện.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể truy cập và luyện tập với 42.226+ bài tập Tính chất hai mặt phẳng vuông góc miễn phí ngay trên hệ thống. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ của mình!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.
  • Nên nhớ kỹ công thức tích vô hướng:n⃗1⋅n⃗2=0\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0.
  • Luôn vẽ hình phác và kiểm tra giao tuyến trước khi làm bài.
  • Ôn tập bằng luyện tập đa dạng bài tập để ghi nhớ kiến thức lâu dài.

    • Checklist ôn tập:

  • ✔ Hiểu định nghĩa và các tính chất
    ✔ Nắm vững cách xác định vectơ pháp tuyến
    ✔ Ghi nhớ công thức tích vô hướng
    ✔ Biết kiểm tra lại kết quả sau khi giải
    ✔ Thực hành với bài tập thực tế

    • Chúc bạn học tốt, vận dụng thành thạo Tính chất hai mặt phẳng vuông góc và đạt điểm cao trong các kỳ thi!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".