Giải thích chi tiết: Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân – Toán 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, khái niệm "Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân" là nội dung trọng tâm thuộc Chương II – Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Việc hiểu rõ khái niệm này không chỉ giúp các em giải thành thạo các dạng bài tập liên quan mà còn tạo nền tảng tốt để học về chuỗi số, giải tích và các ứng dụng trong thực tế như tài chính, khoa học, kỹ thuật. Đặc biệt, các bài toán về tổng vô hạn xuất hiện nhiều trong các đề thi và mang tính thực tiễn cao (ví dụ: đầu tư lãi kép, mô hình tăng trưởng...). Hãy rèn luyện ngay với hơn 42.226+ bài tập Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân miễn phí để thành thạo kỹ năng này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Khái niệm: Một cấp số nhân là một dãy số dạng$u_1, u_2, u_3, \ldots$thỏa mãn$u_{n+1} = u_n \cdot q$với$q$là công bội ($q \neq 0$) và $u_1$là số hạng đầu.
• Tổng vô hạn của cấp số nhân được định nghĩa khi$|q| < 1$. Khi đó, tổng vô hạn$S$của dãy số là:$S = u_1 + u_1q + u_1q^2 + \ldots$.
• Điều kiện tổng vô hạn của cấp số nhân tồn tại: Phải có $|q| < 1$. Khi$|q| \geq 1$, tổng không hội tụ (không có tổng hữu hạn).

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tính tổng vô hạn cấp số nhân:$S = \dfrac{u_1}{1 - q}$(với$|q| < 1$)
• Ghi nhớ: Tổng chỉ tồn tại khi$|q| < 1$. Nếu$q$ âm, vẫn có thể tính tổng nếu$|q| < 1$.
• Cách ghi nhớ nhanh: 'Mẫu số là 1 trừ công bội q.'
• Biến thể: Nếu dãy bắt đầu từ số hạng thứ $k$, tổng từ $u_k$trở đi là:$S' = u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + \ldots = \frac{u_k}{1 - q}$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho cấp số nhân$u_1 = 2$,$q = \frac{1}{2}$. Tính tổng vô hạn (nếu có) của dãy số này.

• Bước 1: Kiểm tra điều kiện$|q| < 1$. Ta có $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$(thoả mãn).
• Bước 2: Áp dụng công thức$S = \dfrac{u_1}{1 - q} = \dfrac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{\frac{1}{2}} = 4$.
• Lưu ý: Không được quên điều kiện$|q| < 1$trước khi áp dụng công thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Xét cấp số nhân$u_1 = -3$,$q = -0,6$. Tính tổng vô hạn (nếu có) của dãy số.

• Kiểm tra:$|q| = |-0,6| = 0,6 < 1$\Rightarrow$có tổng vô hạn.
• Áp dụng công thức:$S = \dfrac{-3}{1 - (-0,6)} = \dfrac{-3}{1 + 0,6} = \dfrac{-3}{1,6} = -\dfrac{15}{8}$.
• Lưu ý: Công bội âm tổng vẫn tồn tại, chỉ cần$|q| < 1$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$|q| \geq 1$: Không thể tính tổng vô hạn, dãy không hội tụ.
• Nếu$u_1 = 0$: Tổng vô hạn luôn là 0, dù $q$thế nào.
• Nếu tổng bắt đầu từ số hạng khác$u_1$, cần xác định số hạng đầu mới rồi áp dụng công thức.
• Mối liên hệ: Tổng vô hạn cấp số nhân là trường hợp riêng của chuỗi hình học trong giải tích.

$u_n = u_1 q^n$ (với $u_1=1$ , $q=0.6$ ) và đồ thị đường thể hiện sự hội tụ của tổng từng phần $S_n$ về giới hạn S=\frac{u_1}{1-q}=2.50 " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa cấp số nhân và cấp số cộng.
• Hiểu nhầm điều kiện đảm bảo tổng vô hạn ($|q| < 1$).
• Phân biệt: Cấp số nhân có số hạng sau bằng số hạng trước nhân công bội$q$.

5.2 Lỗi về tính toán

• Bỏ sót điều kiện hoặc xác định sai công bội.
• Tính toán nhầm dấu khi$q$ âm.
• Quên chuyển phân số đúng (ví dụ:$\frac{2}{1/2} = 4$).
• Nên kiểm tra lại kết quả bằng cách tính tổng các số hạng đầu tiên.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Tham gia luyện tập với 42.226+ bài tập Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân miễn phí, không cần đăng ký tài khoản. Truy cập thư viện bài tập, làm bài trực tiếp, nhận đáp án chi tiết và theo dõi tiến độ học tập để nâng cao kỹ năng giải toán của bạn!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân chỉ áp dụng khi$|q| < 1$.
• Công thức quan trọng:$S = \frac{u_1}{1 - q}$(với$|q| < 1$).
• Luôn kiểm tra điều kiện trước khi áp dụng công thức.
• Làm quen nhiều dạng bài để tránh nhầm lẫn và tăng độ chính xác.
• Kế hoạch ôn tập: Học lý thuyết – Ghi nhớ công thức – Luyện tập bài tập cơ bản và nâng cao.