1. Giới thiệu về "Tính trung vị từ bảng phân bố tần số"

Trong chương trình Toán 11, các khái niệm về thống kê đóng vai trò quan trọng, giúp học sinh hiểu và xử lý dữ liệu thực tế. Một trong những đặc trưng đo xu thế trung tâm là "trung vị". Việc tính trung vị không chỉ giúp nhận biết vị trí chung nhất của mẫu số liệu mà còn ứng dụng nhiều trong thực nghiệm, nghiên cứu xã hội, kinh tế,... Đặc biệt, khi dữ liệu được trình bày dưới dạng bảng phân bố tần số (ví dụ số liệu đã được nhóm thành các lớp), phương pháp tính trung vị có quy tắc riêng mà học sinh cần nắm vững.

2. Trung vị là gì? Định nghĩa chính xác

Trung vị (ký hiệu$Me$) của một dãy số liệu là giá trị phân chia dãy số liệu thành hai phần bằng nhau về số lượng.Đối với bảng phân bố tần số ghép nhóm, TRUNG VỊ được xác định là giá trị chia cả tập hợp số liệu thành hai nhóm có số phần tử bằng nhau (hoặc xấp xỉ bằng nhau).

Khi số liệu được phân nhóm trong bảng, trung vị không còn là giá trị nằm ngay trong dữ liệu mà được tính theo một công thức dựa vào thông tin về tần số (số lần xuất hiện) của các nhóm.

3. Công thức tính trung vị từ bảng phân bố tần số

Ký hiệu:

• $N$: Tổng số các giá trị (tổng tần số)
• $F_m$: Tần số tích lũy trước lớp chứa trung vị
• $f_m$: Tần số của lớp chứa trung vị
• $L$: Cận dưới của lớp chứa trung vị
• $h$: Độ dài lớp chứa trung vị

Công thức trung vị với dữ liệu nhóm lớp:

$Me = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} - F_m}{f_m} \times h$

4. Hướng dẫn từng bước tính trung vị từ bảng phân bố tần số - Có ví dụ minh họa

Giả sử có bảng phân bố tần số sau (biến$X$là điểm kiểm tra Toán của 40 học sinh):

| Lớp         | Số học sinh (tần số) |
|-------------|---------------------|
| 2 - 4       | 3                   |
| 4 - 6       | 6                   |
| 6 - 8       | 15                  |
| 8 - 10      | 10                  |
| 10 - 12     | 6                   |

• Tổng số học sinh$N = 3 + 6 + 15 + 10 + 6 = 40$

Bước 1: Tìm$\dfrac{N}{2} = 20$. Trung vị nằm ở học sinh thứ 20 và 21.

Bước 2: Tính tần số tích lũy:

| Lớp    | Tần số | Tần số tích lũy |
|--------|--------|----------------|
| 2 - 4  |   3    |        3       |
| 4 - 6  |   6    |        9       |
| 6 - 8  |  15    |       24       |
| 8 -10  |  10    |       34       |
|10 -12  |   6    |       40       |

Bước 3: Xác định lớp chứa trung vị: Tìm lớp đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20. Đó là lớp "6 - 8" (tần số tích lũy 24).

• $L = 6$(cận dưới lớp trung vị: 6 - 8)
• $h = 2$(độ dài lớp: 8 - 6 = 2)
• $F_m = 9$(tần số tích lũy trước lớp trung vị, tức là tần số tích lũy của lớp "4 - 6")
• $f_m = 15$(tần số của lớp trung vị)

Bước 4: Thay số vào công thức:

$<br />Me = 6 + \dfrac{20 - 9}{15} \times 2 = 6 + \dfrac{11}{15} \times 2 = 6 + 1.47 = 7.47<br />$

Vậy trung vị của bảng là khoảng$7.47$ điểm.

5. Lưu ý và các trường hợp đặc biệt khi tính trung vị

• Nếu tổng số (N) là số lẻ, trung vị là giá trị của vị trí $\dfrac{N+1}{2}$.
• Nếu tổng số (N) là số chẵn, trung vị là trung bình số học của hai giá trị ở vị trí $\dfrac{N}{2}$và $\dfrac{N}{2} + 1.$
• Khi các lớp không đều nhau, cần dùng độ dài lớp thực tế của lớp trung vị.
• Các lớp phải liên tiếp, không bỏ sót giá trị nào trong dãy.

6. Mối liên hệ giữa trung vị và các chỉ số đo xu thế trung tâm khác

Trung vị (Me), trung bình cộng ($\overline{x}$), và số mode (mốt) là các số đặc trưng đo xu thế trung tâm thông dụng. Trong nhiều trường hợp, trung vị phản ánh vị trí giá trị trung tâm sát thực tế hơn trung bình cộng, nhất là khi bộ số liệu có các giá trị ngoại lai (rất nhỏ hoặc rất lớn).

7. Bài tập mẫu, hướng dẫn và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho bảng phân bố tần số sau về chiều cao (đơn vị: cm) của 38 học sinh:

| Lớp chiều cao | Số HS |
|--------------|-------|
|150 – 155     |   3   |
|155 – 160     |   7   |
|160 – 165     |  16   |
|165 – 170     |   8   |
|170 – 175     |   4   |

Hãy xác định giá trị trung vị của mẫu số liệu trên.

Giải:

1. Tổng số học sinh$N = 3 + 7 + 16 + 8 + 4 = 38$.
2. Tính tần số tích lũy: 3, 10, 26, 34, 38.
3. Vị trí trung vị:$\dfrac{N}{2} = 19$.
4. Lớp chứa trung vị là "160 – 165" (vì tần số tích lũy đạt 26, vừa vượt 19).
5. Cận dưới lớp trung vị $L = 160$, độ dài lớp$h = 5$, tần số lớp trung vị $f_m = 16$, tần số tích lũy trước$F_m = 10$.
6. Áp dụng công thức:
   $Me = 160 + \dfrac{19 - 10}{16} \times 5 = 160 + \dfrac{9}{16} \times 5 = 160 + 2.8125 = 162.81$
7. Vậy trung vị là khoảng$162.81$cm.

Bài 2: Cho bảng phân bố tần số về số sách mượn của 30 bạn trong thư viện:

| Số sách mượn | Số bạn |
|--------------|--------|
| 1 – 2        |   8    |
| 3 – 4        |   12   |
| 5 – 6        |   7    |
| 7 – 8        |   3    |

Tính trung vị của số sách mượn.

Giải:

1. $N=8+12+7+3=30$.
2. Tần số tích lũy: 8, 20, 27, 30.
3. Vị trí trung vị:$\dfrac{N}{2}=15$.
4. Lớp trung vị: "3 – 4" (tần số tích lũy đạt 20 vừa vượt 15).
5. $L=3$,$h=2$,$F_m=8$,$f_m=12$.
6. 
   $Me = 3 + \dfrac{15-8}{12} \times 2 = 3 + \dfrac{7}{12} \times 2 = 3 + 1.17 = 4.17$

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên tính đúng tần số tích lũy dẫn đến xác định sai lớp trung vị.
• Dùng nhầm cận dưới lớp trung vị hoặc độ dài lớp.
• Không kiểm tra xem các lớp có đều và liên tiếp nhau không.
• Thay số nhầm vị trí vào công thức.
• Không chuyển đổi được giá trị từ vị trí trung vị sang lớp trung vị.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Trung vị chia tập số liệu thành hai phần bằng nhau về số lượng.
• Khi số liệu được phân nhóm, trung vị được tính bằng công thức dựa vào cận dưới, độ dài lớp, tần số và tần số tích lũy.
• Xác định đúng lớp trung vị là bước then chốt.
• Trung vị giúp phản ánh xu thế phổ biến của dữ liệu, nhất là khi có số liệu ngoại lệ.