1. Giới thiệu về tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ

Trong chương trình Toán học lớp 11, xác suất là một chủ đề quan trọng, có ý nghĩa thực tiễn cao. Việc tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán thực tế như xác suất xảy ra ít nhất một trong hai sự kiện. Hiểu và vận dụng tốt kiến thức này là nền tảng cho việc học xác suất ở các lớp sau và trong nhiều lĩnh vực như thống kê, khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật…

2. Định nghĩa chính xác của xác suất biến cố hợp

Cho hai biến cố $A$và $B$trong một không gian xác suất. Biến cố hợp “$A$hoặc$B$” ký hiệu là $A \cup B$, xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$xảy ra. Để tính xác suất của biến cố hợp, ta dùng công thức:

Công thức xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Trong đó,$P(A)$là xác suất biến cố $A$,$P(B)$là xác suất biến cố $B$,$P(A \cap B)$là xác suất đồng thời xảy ra cả $A$và $B$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử bạn gieo một con xúc xắc.

- Gọi biến cố $A$: “Xuất hiện mặt chẵn” (số 2, 4, 6).
- Gọi biến cố $B$: “Xuất hiện số lớn hơn 3” (số 4, 5, 6).

Tính xác suất để xuất hiện ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$(tức là $A \cup B$xảy ra).

$P(A) = \frac{3}{6} = 0{,}5$

$P(B) = \frac{3}{6} = 0{,}5$

$A \cap B$là “số vừa chẵn vừa lớn hơn 3”: tức là số 4 và 6, nên
$P(A \cap B) = \frac{2}{6} ≈ 0{,}333$

Áp dụng công thức:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}5 - 0{,}333 ≈ 0{,}667$

Vậy xác suất để xảy ra ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$là khoảng$0{,}667$hay tỷ lệ $\frac{4}{6}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

a) Hai biến cố xung khắc (không đồng thời xảy ra):
Nếu$A$và $B$là hai biến cố xung khắc, tức là $A \cap B = \emptyset$, thì $P(A \cap B) = 0$. Công thức xác suất biến thành:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

b) Ba biến cố bất kỳ:
Công thức xác suất mở rộng cho ba biến cố $A$,$B$,$C$:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

- Lưu ý: Nếu không xác định$P(A \cap B)$mà dùng công thức trên thì dễ đếm lặp, dẫn đến kết quả sai.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Công thức cộng xác suất là một trường hợp cụ thể của nguyên lý cộng trong tổ hợp.
- Kiến thức này liên quan chặt chẽ đến lý thuyết tập hợp (hợp, giao của tập hợp).
- Xác suất của biến cố hợp giúp giải các bài toán “ít nhất một xảy ra…”, bài toán xác suất có điều kiện, luật xác suất đầy đủ…

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trong một lớp học có 20 học sinh tham gia đội bóng đá, 15 học sinh tham gia đội bóng chuyền, trong đó có 8 học sinh tham gia cả hai đội. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất để học sinh đó tham gia ít nhất một đội.

Giải:
- Số học sinh tham gia ít nhất một đội là $20 + 15 - 8 = 27$(do 8 học sinh bị tính hai lần)
- Tổng số học sinh là (giả sử lớp có 30 học sinh)
- Xác suất cần tìm là $\frac{27}{30} = 0{,}9$

Bài tập 2: Một túi gồm 5 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một bi, tính xác suất để lấy được bi đỏ hoặc bi xanh.

Giải:
- Do không tồn tại loại bi thứ ba, xác suất lấy được bi đỏ hoặc bi xanh là $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1$.

Bài tập 3: Rút một lá bài từ bộ bài Tây 52 lá.
- Gọi$A$: “Lá bài màu đỏ”,$P(A) = \frac{26}{52}$
- Gọi$B$: “Lá bài là quân Q” (4 quân)
-$A \cap B$: Q đỏ (2 quân)

Áp dụng công thức:
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên trừ $P(A \cap B)$: Nếu chỉ cộng$P(A)$và $P(B)$, khi$A$và $B$không xung khắc sẽ đếm lặp phần giao.
- Nhầm lẫn giữa “hoặc” (hợp) và “và” (giao).
- Không xét đầy đủ các trường hợp đồng thời xảy ra.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Cần sử dụng đúng công thức để tránh đếm lặp phần giao.
- Các bài toán liên quan đến “ít nhất một sự kiện xảy ra” đều có thể áp dụng công thức này.
- Hiểu rõ các trường hợp xung khắc và không xung khắc để áp dụng công thức phù hợp.