Bài 1: Giá trị lượng giác của góc – Giải thích chi tiết cho lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 1: Giá trị lượng giác của góc là kiến thức mở đầu quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, thuộc chủ đề Hàm số lượng giác. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các phần học về phương trình, bất phương trình lượng giác, hình học và cả các ứng dụng thực tiễn trong vật lý, kỹ thuật, kiến trúc.

Việc nắm vững giá trị lượng giác không chỉ giúp giải toán hiệu quả mà còn là kỹ năng cơ bản khi học lên cao. Trong thực tế, lượng giác có mặt trong tính toán khoảng cách, góc, hướng, chuyển động tròn…

Bạn có thể thử sức với hơn 42.226 bài tập Bài 1: Giá trị lượng giác của góc miễn phí ở phần cuối bài!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa các giá trị lượng giác:

• Với góc$\alpha$bất kỳ, trên đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác của$\alpha$ được xác định như sau:
• $\sin \alpha = y$, $\cos \alpha = x$ (tọa độ điểm M trên đường tròn lượng giác bán kính 1).
• $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$(nếu$\cos \alpha \ne 0$); $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$(nếu$\sin \alpha \ne 0$).

- Một số tính chất chính:

• $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$, $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$
• Giá trị của$\tan \alpha$và $\cot \alpha$có thể là mọi số thực hoặc không xác định.
• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ (hệ thức lượng giác cơ bản).

- Điều kiện áp dụng: $\tan \alpha$xác định khi$\cos \alpha \ne 0$; $\cot \alpha$xác định khi$\sin \alpha \ne 0$.

2.2 Công thức và quy tắc

- Các công thức lượng giác cơ bản cần thuộc lòng:

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\cos \alpha \ne 0)$
• $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\sin \alpha \ne 0)$
• $1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\cos \alpha \ne 0)$
• $1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\sin \alpha \ne 0)$

- Cách ghi nhớ: Học sinh nên sử dụng sơ đồ tóm tắt, bảng giá trị các góc đặc biệt và thực hành bài tập thường xuyên để nhớ lâu.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

- Bài toán: Tính $\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$, $\tan 30^\circ$.

+ Bước 1: Nhớ các giá trị lượng giác của góc đặc biệt ($30^\circ$):

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \dfrac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Các góc đặc biệt như $0^\circ$,$30^\circ$,$45^\circ$,$60^\circ$,$90^\circ$học sinh nên thuộc bảng giá trị lượng giác để làm bài nhanh chóng.

3.2 Ví dụ nâng cao

- Bài toán: Cho biết $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$, $\alpha$là góc nhọn. Tính$\cos \alpha$, $\tan \alpha$.

+ Bước 1: Áp dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{4}{5}$(do$\alpha$là góc nhọn nên$\cos \alpha > 0$)

+ Bước 2: Tính $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$

=> Lưu ý khi xác định dấu căn bậc hai: Phân tích kỹ vị trí góc trên đường tròn lượng giác (tứ giác phần tư) để chọn dấu phù hợp.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi$\alpha$là các góc đặc biệt như $0^\circ$,$90^\circ$,$180^\circ$,$270^\circ$,$360^\circ$, các giá trị lượng giác có thể là 0, 1, -1 hoặc không xác định (như $\tan 90^\circ$không xác định).

- Khi$\alpha$không phải góc nhọn, cần xác định dấu của giá trị lượng giác dựa vào vị trí góc trên mặt phẳng (tứ giác phần tư).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa giá trị lượng giác của góc và giá trị của hàm số lượng giác.
• Không xác định chính xác dấu$+$hoặc$-$của các giá trị lượng giác.

Cách phân biệt: Sử dụng bảng giá trị các góc, học kỹ bốn phần tư đường tròn lượng giác.

5.2 Lỗi về tính toán

• Sai lệch khi lấy căn bậc hai (quên xét dấu hoặc nhầm vị trí).
• Áp dụng công thức sai điều kiện (ví dụ:$\tan \alpha$,$\cot \alpha$với mẫu số bằng 0).

Phương pháp kiểm tra: Luôn kiểm tra lại điều kiện xác định trước khi tính giá trị lượng giác.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay bộ 42.226 bài tập Bài 1: Giá trị lượng giác của góc miễn phí. Bạn có thể luyện tập không cần đăng ký, theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng giải toán hiệu quả.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hiểu rõ định nghĩa và tính chất các giá trị lượng giác.
• Ghi nhớ các công thức cơ bản và các giá trị đặc biệt.
• Rèn luyện kỹ năng xác định dấu và điều kiện xác định.
• Thường xuyên làm bài tập để thuộc lòng và tránh các lỗi sai cơ bản.

Checklist trước khi làm bài:

• Thuộc lòng công thức lượng giác cơ bản.
• Biết xác định dấu lượng giác theo vị trí góc.
• Hiểu điều kiện xác định của$\tan$và $\cot$.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Học lý thuyết, làm bài tập đa dạng, trao đổi với bạn bè và hỏi giáo viên khi gặp vướng mắc.