Blog

Lớp 11

Hàm phân thức: Khái niệm, ví dụ, bài tập và giải thích chi tiết cho lớp 11

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm hàm phân thức và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, các em học sinh sẽ tiếp cận với nhiều khái niệm mới liên quan đến hàm số, trong đó hàm phân thức là một nội dung quan trọng và nền tảng. Việc nắm vững hàm phân thức không chỉ giúp các em xử lý linh hoạt các bài toán hàm số, mà còn kết nối trực tiếp với nhiều kiến thức về giới hạn, đạo hàm, khảo sát hàm số ở chương trình nâng cao và đặt nền cho giải tích lớp 12.

2. Định nghĩa hàm phân thức

Hàm phân thức là một hàm số được biểu diễn dưới dạng thương của hai đa thức, tức là hàm số có dạng:

f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Trong đó:

  • P(x)P(x)là đa thức (tử số)
  • Q(x)Q(x)là đa thức (mẫu số), vớiQ(x)≠0Q(x) \neq 0

    • Tập xác định của hàm phân thức là tập hợp tất cả các giá trị củaxxsao choQ(x)≠0Q(x) \neq 0.

    3. Giải thích chi tiết và ví dụ minh họa

    Để hiểu rõ hơn về hàm phân thức, chúng ta sẽ đi từng bước với các ví dụ cụ thể.

  • Ví dụ 1: Xét hàm số f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}.
  • - Tử số P(x)=2x+3P(x) = 2x+3, mẫu số Q(x)=x−1Q(x) = x-1.
  • - Điều kiện xác định:Q(x)≠0⇒x−1≠0⇒x≠1Q(x) \neq 0 \Rightarrow x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.
  • - Tập xác định: D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}.
  • Ví dụ 2: Cho hàm g(x)=x2−1x2−4g(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}.
    - P(x)=x2−1; Q(x)=x2−4P(x) = x^2-1;\ Q(x)= x^2-4
    - Tìm x để hàm số xác định: x2−4≠0⇒x2≠4⇒x≠2,x≠−2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -2.
    - Tập xác định: D=R∖{2;−2}D = \mathbb{R} \setminus \{2; -2\}.

    • 4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu mẫu số là hằng số (ví dụ f(x)=2x3f(x)=\frac{2x}{3}), thì hàm này là hàm đa thức (hoặc bậc nhất/bậc nhất nếu có dạngax+bax+b).
  • Nếu tử số có bậc nhỏ hơn mẫu số, hàm phân thức sẽ có giới hạn tiến tới 0 khi∣x∣→∞|x| \to \infty.
  • Nếu cả tử và mẫu đều có cùng bậc, giới hạn tại vô cực là tỉ số giữa các hệ số bậc cao nhất.
  • Nếu tử số chia hết cho mẫu số, hàm sẽ rút gọn thành đa thức, nhưng vẫn cần lưu ý tập xác định.
  • Khi rút gọn, những giá trị làm mẫu số ban đầu bằng 0 VẪN bị loại khỏi tập xác định, dù đã rút gọn!

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Hàm phân thức là cầu nối quan trọng giữa đại số và giải tích. Các tính chất về tập xác định, tiệm cận, tính liên tục thường xuyên xuất hiện trong các bài toán khảo sát hàm số, giới hạn, khảo sát đạo hàm và ứng dụng vào thực tiễn. Việc hiểu về hàm phân thức sẽ giúp học sinh dễ dàng học các phần kiến thức nâng cao và ứng dụng vào các bài toán thực tế.

  • - Hàm phân thức thường gặp trong giải bài toán giới hạn (lim⁡x→a\lim_{x \to a}), đặc biệt khi xuất hiện dạng vô định.
  • - Khảo sát sự liên tục, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, hay tiệm cận xiên…
    • Hình minh họa: Đồ thị hàm số g(x) = (x² - 9)/(x - 3) sau khi rút gọn thành y = x + 3, thể hiện điểm loại trừ (3,6) và chú thích tập xác định D = ℝ \ {3}
    Đồ thị hàm số g(x) = (x² - 9)/(x - 3) sau khi rút gọn thành y = x + 3, thể hiện điểm loại trừ (3,6) và chú thích tập xác định D = ℝ \ {3}
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số g(x) = (x² - 1)/(x² - 4) với các nhánh trên các khoảng xác định (-∞, -2), (-2, 2), (2, ∞), đồng thời minh họa tiệm cận đứng x = -2, x = 2 và tiệm cận ngang y = 1
    Đồ thị hàm số g(x) = (x² - 1)/(x² - 4) với các nhánh trên các khoảng xác định (-∞, -2), (-2, 2), (2, ∞), đồng thời minh họa tiệm cận đứng x = -2, x = 2 và tiệm cận ngang y = 1
    Hình minh họa: Đồ thị hàm phân thức f(x) = (2x + 3)/(x - 1) với tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2 và vùng xác định x ≠ 1
    Đồ thị hàm phân thức f(x) = (2x + 3)/(x - 1) với tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2 và vùng xác định x ≠ 1

    6. Bài tập mẫu về hàm phân thức và lời giải chi tiết

    Dưới đây là một số ví dụ điển hình có lời giải chi tiết:

  • - Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)=2x2+1x2−4x+3f(x) = \frac{2x^2+1}{x^2 - 4x + 3}

    Giải:
    Hàm xác định khi:
    x2−4x+3≠0⇔(x−1)(x−3)≠0⇔x≠1,x≠3x^2 - 4x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1, x \neq 3
    Vậy tập xác định D=R∖{1;3}D = \mathbb{R} \setminus \{1;3\}.
  • - Bài 2: Rút gọn hàm số g(x)=x2−9x−3g(x)= \frac{x^2-9}{x-3} và tìm tập xác định.

    Giải:

    x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9 = (x-3)(x+3), ta có:
    g(x)=(x−3)(x+3)x−3=x+3g(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3

    Tuy nhiên, điều kiện xác định là x−3≠0⇒x≠3x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3.

    Vậy tập xác định D=R∖{3}D= \mathbb{R} \setminus \{3\}.
  • - Bài 3: Chof(x)=x+2x2+x−6f(x) = \frac{x+2}{x^2+x-6}. Xác địnhxxđểf(x)<0f(x) < 0.

    Giải:
    ĐKXĐ:x2+x−6≠0⇔(x−2)(x+3)≠0⇔x≠2,x≠−3x^2+x-6 \neq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+3) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2, x \neq -3.
    Xét dấu:
    Tử số:x+2=0⇔x=−2x+2 = 0 \Leftrightarrow x = -2
    Mẫu số:(x−2)(x+3)(x-2)(x+3).
    Lập bảng xét dấu:
    - Chọn các điểm:−3,−2,2-3, -2, 2
    - Xét nghiệm:
    (Xem phân tích ký hiệu thay đổi dấu của tử và mẫu với từng khoảng)
    - Kết luận:f(x)<0f(x) < 0khi−2<x<2-2 < x < 2hoặcx<−3x < -3.
    Chú ý loại bỏ x=−3,x=2x =-3, x=2khỏi khoảng xác định.

    • 7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Không xét đến tập xác định, đặc biệt là khi rút gọn hàm số.
  • - Nhầm lẫn giữa giá trị bị loại với giá trị giới hạn.
  • - Không phân tích đủ điều kiện xác định trong các phép biến đổi.
  • - Không kiểm tra nghiệm loại trừ sau khi rút gọn biểu thức.

    • Để tránh lỗi, luôn phân tích kỹ điều kiện xác định và ghi rõ trong các bước giải.

    8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • - Hàm phân thức là hàm số dạngf(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}vớiQ(x)≠0Q(x) \neq 0.
  • - Đặc biệt chú ý xác định tập xác định và điều kiện tồn tại của hàm.
  • - Hàm phân thức đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức giải tích, giới hạn, đạo hàm…
  • - Khi rút gọn, không được bỏ qua điều kiện xác định xuất phát từ mẫu số ban đầu.

    • Học tốt hàm phân thức sẽ giúp các em vững vàng khi gặp các bài toán phức tạp hơn ở các lớp trên. Hãy luyện tập thêm nhiều ví dụ, chủ động nhận diện và tránh sai sót trong quá trình làm bài.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Bài trước

    Ứng dụng chứng minh hội tụ hoặc phân kỳ trong cuộc sống và các ngành nghề – Góc nhìn thực tế cho học sinh lớp 11

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".