Ta có mẫu$Q(x) = x-1$. Để hàm số xác định, cần$x-1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$. Vậymiền xác định là: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

3.2. Cách rút gọn và nhận diện hàm phân thức

Ở một số trường hợp, nhằm phân tích sâu hơn, ta cần rút gọn phân thức.

Ví dụ 2:$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x - 1}$với$x \neq 1$.

Ta có:$x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Vậy:

Dù rút gọn được thành hàm bậc nhất, nhưng bản chất là phân thức, vì miền xác định vẫn là $x \neq 1$.

3.3. Hàm phân thức bậc nhất, bậc hai, bậc cao hơn

- Nếu tử và mẫu đều là bậc nhất: gọi là "Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất" (ví dụ như $f(x) = \frac{2x+1}{3x-4})$.
- Nếu tử và mẫu có bậc cao hơn, cách khảo sát tương tự và có nhiều tính chất đáng chú ý hơn (giới hạn, tiệm cận...).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng hàm phân thức

4.1. Khi tử số bằng 0

Nếu$P(x_0) = 0$và $Q(x_0) \neq 0$thì $f(x_0) = 0$. Ví dụ:$f(3) = \frac{3^2 - 9}{3-1} = 0$.

4.2. Khi mẫu số bằng 0

Với mọi$x_0$sao cho$Q(x_0) = 0$thì hàm số không xác định tại đó. Điều này dẫn đến các điểm gián đoạn hoặc tiệm cận đứng.

4.3. Trường hợp có thể rút gọn tử và mẫu

Chỉ rút gọn khi$x$không làm mẫu bằng 0. Nếu rút gọn xong, chú ý loại các giá trị bị loại từ miền xác định ban đầu.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Các bài tập mẫu về hàm phân thức và lời giải chi tiết

Bài 1. Xác định miền xác định của hàm phân thức sau:$f(x) = \frac{2x+1}{x^2-4}$

Lời giải:
Mẫu số $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Điều kiện xác định là $x^2-4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2, x \neq -2$.

Vậy miền xác định là: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-2;2\}$.

Bài 2. Rút gọn hàm phân thức$f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$và xác định tập xác định.

Lời giải:
$x^2-9=(x-3)(x+3)$. Vậy $f(x) = x+3$với$x \neq 3$(loại giá trị làm mẫu bằng 0).
Tập xác định$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Bài 3. Tính giới hạn tại vô cực của hàm:$f(x) = \frac{3x^2+4}{2x^2-5}$

Lời giải:
Ta chia tử và mẫu cho$x^2$, được:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+4}{2x^2-5} = \frac{3+\frac{4}{x^2}}{2-\frac{5}{x^2}} \to \frac{3}{2}$
Vậy giới hạn tại$x \to \infty$là $\frac{3}{2}$.

7. Các lỗi thường gặp khi làm việc với hàm phân thức và cách tránh

8. Tóm tắt - Các điểm chính cần nhớ về hàm phân thức

- Hàm phân thức là thương của hai đa thức với mẫu số khác không, dạng$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$.
- Miền xác định:$Q(x) \neq 0$.
- Khi rút gọn phân thức, vẫn phải loại bỏ các giá trị làm mẫu bằng 0 ban đầu.
- Hàm phân thức đóng vai trò quan trọng trong các bài toán giới hạn, khảo sát hàm số và giải bất phương trình.
- Luôn kiểm tra miền xác định trước khi giải và chú ý giữ các điều kiện xác định tới cùng.

Hy vọng bài viết giúp bạn hiểu rõ khái niệm hàm phân thức và ứng dụng vào giải các bài tập toán lớp 11 một cách tự tin!