Hàm số logarit: Khái niệm, công thức, ví dụ minh họa và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm số logarit là một trong những chủ đề trọng tâm của chương trình Toán 11. Kiến thức về hàm số logarit không chỉ là nền tảng quan trọng chuẩn bị cho các kỳ thi THPT, mà còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tế như kinh tế, vật lý, tin học, và cả trong đời sống.Việc hiểu rõ và nắm vững khái niệm này sẽ giúp các em học tốt phần phương trình, bất phương trình và cả các bài toán ứng dụng thực tế. Chủ động luyện tập với hàng trăm bài tập miễn phí sẽ giúp các em tự tin và cải thiện kỹ năng giải toán.Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226 bài tập về hàm số logarit ngay trên hệ thống!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hàm số logarit với cơ số $a>0$,$a \neq 1$là hàm số xác định trên$(0; +\infty)$, được cho bởi công thức:

- Miền xác định:$x > 0$.

- Các tính chất:

• $\log_a{1} = 0$
• $\log_a{a} = 1$
• Hàm số $y = \log_a{x}$ đồng biến trên$(0; +\infty)$nếu$a > 1$, nghịch biến nếu$0 < a < 1$

- Giới hạn: Chỉ xác định với$x > 0$và $a > 0$,$a \neq 1$.

2.2 Công thức và quy tắc

- Các công thức logarit thường gặp:

• $\log_a{(AB)} = \log_a{A} + \log_a{B}$
• $\log_a{\left(\frac{A}{B}\right)} = \log_a{A} - \log_a{B}$
• $\log_a{A^k} = k\log_a{A}$
• $\log_a{a} = 1$;$\log_a{1} = 0$
• Đổi cơ số:$\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$

- Quy tắc ghi nhớ: Nắm các công thức trên, chú ý thứ tự phép toán và điều kiện$A>0$,$B>0$,$a>0$,$a \neq 1$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Tính giá trị $y = \log_2{8}$.

• Bước 1: Viết$8$dưới dạng luỹ thừa của$2$:$8 = 2^3$.
• Bước 2: Áp dụng công thức:$\log_2{2^3} = 3 \log_2{2} = 3 \times 1 = 3$.

Vậy$y = 3$. Lưu ý: Luôn xác định trước miền xác định của hàm số logarit và biến đổi biểu thức về dạng quen thuộc.

3.2 Ví dụ nâng cao

Giải phương trình:$\log_3{(x^2-2x)} = 2$.

• Bước 1: Điều kiện xác định:$x^2-2x > 0 \Leftrightarrow x < 0$hoặc$x > 2$.
• Bước 2: Giải phương trình:$x^2-2x = 3^2 = 9 \implies x^2-2x-9=0$.
• Bước 3: Giải phương trình bậc hai: $x = 1 \pm \sqrt{10}$.
• Bước 4: Đối chiếu điều kiện: $x_1 = 1 + \sqrt{10} > 2$(thỏa mãn),$x_2 = 1 - \sqrt{10} < 0$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x_1 = 1 + \sqrt{10}$, $x_2 = 1 - \sqrt{10}$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• - Khi$a = 10$(logarit thập phân), ký hiệu$\log{x}$thay cho$\log_{10}{x}$.
• - Khi$a = e \approx 2,718$(cơ số tự nhiên), ký hiệu$\ln{x}$thay cho$\log_e{x}$.

- Khi biến trong logarit là một biểu thức phức tạp, cần đặc biệt lưu ý điều kiện xác định.

- Các khái niệm liên quan: hàm số mũ là hàm số ngược với hàm số logarit.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• - Nhầm lẫn giữa logarit và mũ (ví dụ:$\log_a{b}$không phải là $a^b$).
• - Không kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức logarit.

5.2 Lỗi về tính toán

• - Sai sót khi vận dụng công thức đổi cơ số.
• - Quên kiểm tra điều kiện của ẩn sau khi giải phương trình.

Cách kiểm tra kết quả: Thay nghiệm vào biểu thức ban đầu để xem có phù hợp điều kiện xác định không.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập Hàm số logarit miễn phí. Không cần đăng ký – hãy bắt đầu luyện tập ngay lập tức để theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng của bạn!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• - Hàm số logarit chỉ xác định với$x > 0$, cơ số $a>0$,$a \neq 1$.
• - Nắm vững các công thức cơ bản, đặc biệt cách đổi cơ số và điều kiện xác định.
• - Luôn kiểm tra điều kiện trước khi giải phương trình/bất phương trình logarit.

Checklist: Định nghĩa – Công thức – Giải bài tập cơ bản và nâng cao – Luyện tập – Kiểm tra kết quả.

Chúc các em học tốt và luôn tự tin với phần hàm số logarit quan trọng này!