Hàm số logarit: Khái niệm, Tính chất và Bài tập giải chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về hàm số logarit trong Toán học lớp 11

Hàm số logarit là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán học lớp 11, có vai trò nền tảng giúp học sinh khám phá các mối liên hệ sâu rộng giữa các hàm trong đại số và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Sau khi học hàm số mũ, học sinh sẽ tiếp tục tiếp cận với hàm số logarit – loại hàm số mang giá trị nghịch đảo của hàm số mũ và có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc trong việc giải phương trình, bất phương trình cũng như mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên.

2. Định nghĩa chính xác về hàm số logarit

Để hiểu rõ về hàm số logarit, chúng ta bắt đầu từ khái niệm logarit. Cho$a > 0$,$a \neq 1$, với$x > 0$, logarit cơ số $a$của$x$, ký hiệu là $\log_a x$, là số $y$sao cho$a^y = x$. Định nghĩa hàm số logarit:

Tập xác định của hàm số logarit là $D = (0; +\infty)$, nghĩa là hàm số chỉ xác định với$x > 0$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Ví dụ 1: Tính$\log_2 8$.

Ta tìm số $y$sao cho$2^y = 8$. Ta thấy$2^3 = 8$, nên$\log_2 8 = 3$.

b) Ví dụ 2: Giải phương trình$\log_3 x = 2$.

Sử dụng định nghĩa, ta có:$x = 3^2 = 9$

c) Ví dụ 3: Tính$\log_{10} 1000$(đây là logarit thập phân, hay còn gọi là $\log$cơ số 10).

$10^3 = 1000$, nên$\log_{10} 1000 = 3$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng hàm số logarit

• $\log_a 1 = 0$với mọi$a > 0$,$a \neq 1$, vì $a^0 = 1$.
• $\log_a a = 1$, vì $a^1 = a$.
• Chỉ xác định logarit khi$a > 0$,$a \neq 1$và $x > 0$.
• Hàm số logarit chỉ áp dụng trong miền xác định ($x > 0$); với$x \leq 0$, logarit không xác định.

5. Tính chất và mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

a) Tính chất của logarit:

• $\log_a (AB) = \log_a A + \log_a B$, với$A > 0, B > 0$
• $\log_a \left( \frac{A}{B} \right) = \log_a A - \log_a B$, với$A > 0, B > 0$
• $\log_a A^k = k \cdot \log_a A$, với$A > 0, k \in \mathbb{R}$
• $\log_a a = 1$,$\log_a 1 = 0$
• Đổi cơ số:$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$với$a, b, c > 0$,$a, c \neq 1$

b) Mối liên hệ với các khái niệm khác:

• Hàm số logarit là hàm số ngược của hàm số mũ:$y = \log_a x \Leftrightarrow x = a^y$.
• Nếu đã học hàm số mũ $y = a^x$thì hàm số logarit$y = \log_a x$giúp giải các phương trình khi biến nằm ở số mũ.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính giá trị của$\log_5 25$và $\log_2 \frac{1}{8}$.

-$\log_5 25 = y \Rightarrow 5^y = 25 \Rightarrow 5^2 = 25 \Rightarrow y = 2$
-$\log_2 \frac{1}{8} = y \Rightarrow 2^y = \frac{1}{8} \Rightarrow 2^y = 2^{-3} \Rightarrow y = -3$

Bài tập 2: Giải phương trình$\log_3(x - 2) = 1$.

Đặt$y = x - 2$. Theo định nghĩa:$\log_3 y = 1 \Rightarrow y = 3^1 = 3 \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$(chú ý kiểm tra điều kiện$x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$thoả mãn).

Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức$A = \log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 16$.

$\log_2 8 = 3$,$\log_2 4 = 2$,$\log_2 16 = 4$nên:
$A = 3 + 2 - 4 = 1$

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Sử dụng logarit với số $x \leq 0$: Không xác định. Luôn kiểm tra điều kiện$x > 0$trước khi tính logarit.
• Nhầm lẫn giữa tính chất cộng trừ của logarit và phép nhân chia (chú ý:$\log_a (AB) = \log_a A + \log_a B$).
• Không kiểm tra kỹ điều kiện xác định khi giải phương trình: Phải chắc chắn mọi biểu thức bên trong logarit đều lớn hơn 0.
• Quên đổi cơ số khi cần tính logarit với các cơ số khác nhau.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm số logarit là hàm số ngược với hàm số mũ, công thức cơ bản:$y = \log_a x \Leftrightarrow x = a^y$với$a > 0$,$a \neq 1$,$x > 0$.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định ($x > 0$,$a > 0$,$a \neq 1$) trước khi làm các phép toán với logarit.
• Ghi nhớ các tính chất cơ bản của logarit để vận dụng giải nhanh các bài toán về logarit và phương trình logarit.
• Logarit là công cụ hữu ích trong toán học và thực tiễn để giải các bài toán liên quan đến lũy thừa, tăng trưởng, mô hình hóa tự nhiên.