1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của hàm số logarit

Hàm số logarit là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Nó giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến lũy thừa, phương trình và bất phương trình mũ, đồng thời là cơ sở để phát triển các khái niệm cao hơn như tích phân và đạo hàm của hàm mũ và logarit.

2. Định nghĩa hàm số logarit

Cho cơ số $a$thỏa mãn$a>0$và $a<br> \neq 1$. Hàm số logarit cơ số $a$được định nghĩa là hàm số$y=\log_{a}x$sao cho$y=\log_{a}x \Longleftrightarrow a^{y}=x$, với điều kiện$x>0$.

3. Giải thích chi tiết với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hàm số logarit, hãy xét mối quan hệ giữa hàm mũ và hàm logarit: nếu$y=a^{x}$với$a>0$và $a<br>eq1$, thì ta có $x=\log_{a}y$. Điều này cho thấy logarit là hàm nghịch đảo của hàm mũ.

Ví dụ 1: Tính$\log_{2}8$. Vì $2^{3}=8$nên$\log_{2}8=3$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị của$\log_{5}\tfrac{1}{25}$. Ta có $\tfrac{1}{25}=5^{-2}$, do đó $\log_{5}\tfrac{1}{25}=-2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Với cơ số $a=10$, ta có $\log_{10}x$thường được ký hiệu là $\log x$.
- Với cơ số $a=e \approx 2.718$, ta có $\ln x=\log_{e}x$.
Lưu ý: luôn phải thỏa mãn$x>0$và $a>0$,$a<br>eq1$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm số logarit có liên hệ chặt chẽ với hàm mũ, bởi chúng là hai hàm nghịch đảo của nhau. Ngoài ra, logarit còn liên quan đến đạo hàm và tích phân:
-$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$
-$\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$.
Công thức đổi cơ số:$\log_{a}x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\,.$

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính$\log_{2}16$.
Lời giải: Vì $2^{4}=16$, nên$\log_{2}16=4$.

Bài 2: Giải phương trình $\log_{3}(x+2)+\log_{3}(x-1)=2$.
Lời giải:
Điều kiện: $x+2>0,\;x-1>0 \Rightarrow x>1$.
Áp dụng tính chất: $\log_{3}[(x+2)(x-1)]=2 \Rightarrow (x+2)(x-1)=3^{2}=9$.
Giải: $x^{2}+x-2=9 \Rightarrow x^{2}+x-11=0$.
$\Delta=1+44=45$.
$x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{45}}{2}=\dfrac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.
Vì $x>1$, chọn $x=\dfrac{-1+3\sqrt{5}}{2}\,.$

Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số $y=\log_{5}(2x-3)$.
Lời giải: Biểu thức bên trong logarit dương khi$2x-3>0 \Rightarrow x>\tfrac{3}{2}$. Vậy tập xác định là $(\tfrac{3}{2},+\infty)$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa cơ số $a$và biến$x$.
- Bỏ sót điều kiện xác định$x>0$hoặc$a>0,a<br>eq1$.
- Sử dụng công thức$\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(xy)$nhưng quên kiểm tra tính xác định.
- Quên chuyển cơ số khi cần tính nhanh, nên áp dụng công thức đổi cơ số.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Định nghĩa:$y=\log_{a}x\Longleftrightarrow a^{y}=x$với$a>0,a<br>eq1,x>0$.
- Tính chất cơ bản:
•$\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$;
•$\log_{a}(x/y)=\log_{a}x-\log_{a}y$;
•$\log_{a}x^{k}=k\log_{a}x$.
- Công thức đổi cơ số:$\log_{a}x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\,.$