Hàm số logarit: Khái niệm, tính chất và ví dụ minh họa chi tiết cho lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm số logarit là một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Việc hiểu rõ về hàm số logarit không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán đại số mà còn góp phần phát triển tư duy logic, làm nền tảng cho các kiến thức nâng cao về sau. Hàm số logarit có ứng dụng rộng rãi trong thực tế như: đo lường độ lớn âm thanh, độ pH, tăng trưởng dân số, và đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực Khoa học ― Công nghệ. Nắm vững hàm số logarit sẽ giúp bạn dễ dàng vượt qua các kỳ kiểm tra và thi tốt nghiệp. Để hỗ trợ học sinh luyện tập, chúng tôi cung cấp hơn 42.226+ bài tập Hàm số logarit miễn phí, giúp bạn củng cố kiến thức hiệu quả.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hàm số logarit là hàm số có dạng

với$a > 0$,$a \neq 1$,$x > 0$.
- Tập xác định:$D = (0; +\infty)$.
- Tính chất quan trọng: + Nếu$a > 1$, hàm số là hàm đồng biến (tăng dần).
+ Nếu$0 < a < 1$, hàm số là hàm nghịch biến (giảm dần).
- Đạo hàm cơ bản:.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức Hàm số logarit cần thuộc:
1.

2.
3.
4. Đổi cơ số:
Cách nhớ hiệu quả: Gắn từng công thức với ví dụ hoặc quy tắc biến đổi số mũ tương ứng.
Điều kiện sử dụng: Cần chú ý $M > 0$,$N > 0$,$a > 0, a \neq 1$.
Các biến thể: Áp dụng cho mọi cơ số $a$thỏa điều kiện, kể cả số thập phân.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Đề bài: Tính

- Bước 1: Nhận diện số $8 = 2^3$
- Bước 2:
- Lưu ý:với mọi$a > 0, a \neq 1$

3.2 Ví dụ nâng cao

Đề bài: Giải phương trình

- Bước 1: Điều kiện xác định:$x-1 > 0$,$x+1 > 0 \Rightarrow x > 1$
- Bước 2: Sử dụng công thức
=>
=>
=>$x^2-1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$(loại$x = -3$vì không thỏa điều kiện)
- Đáp số:$x = 3$

4. Các trường hợp đặc biệt

- Chú ý:

,số âm không xác định.
- Hàm không xác định với$x \leq 0$.
- Khi$a = e$(số Euler), ta gọi là logarit tự nhiên:$\ln x$.
- Logarit có thể liên hệ với hàm mũ qua tính chất:,.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai cơ số hoặc điều kiện xác định$x > 0$.
- Nhầm lẫn giữa

với$\ln x$hoặc.
- Luôn nhớ xác định điều kiện của biến trước khi tính, giải phương trình.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên đổi cơ số khi cần thiết.
- Sai sót khi áp dụng quy tắc nhân, chia logarit.
- Nên kiểm tra nhanh kết quả bằng cách thay ngược vào đề, hoặc dùng máy tính kiểm tra giá trị logarit.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay hơn 42.226+ bài tập Hàm số logarit miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập tức thì. Hệ thống sẽ tự động lưu lại tiến trình và gợi ý các chủ đề cần cải thiện.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hàm số logarit:

($x > 0, a > 0, a \neq 1$)
- Các công thức cộng, trừ, nhân, chia và đổi cơ số logarit
- Ghi nhớ điều kiện xác định, tính chất đồng biến/nghịch biến
- Thường xuyên luyện tập để ghi nhớ chắc chắn và tránh mắc lỗi cơ bản
- Lập kế hoạch ôn tập các dạng bài trọng tâm mỗi tuần để củng cố kỹ năng