Hàm số logarit: Khái niệm, kiến thức trọng tâm và cách học hiệu quả cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm số logarit là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững khái niệm này không chỉ giúp học tốt các bài kiểm tra trên lớp mà còn tạo nền tảng cho các kiến thức toán học về sau như giải phương trình, bất phương trình, ứng dụng trong cuộc sống thực tiễn như tính lãi suất ngân hàng, đo độ pH của dung dịch, tính tuổi vật liệu bằng đồng vị phóng xạ,... Hiểu rõ về hàm số logarit còn giúp bạn suy luận logic và làm quen với những dạng bài toán mới mẻ. Đặc biệt, bạn sẽ có cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập đa dạng và cập nhật liên tục!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hàm số logarit cơ bản là hàm số có dạng

• Cơ số $a$là một số thực dương khác 1.
• Tập xác định:$x > 0$.
• $$\\log_a x$$
  là số mà khi lấy$a$lũy thừa với số đó thì được$x$, tức là:
  $$a^{\\log_a x} = x$$
  .

Tính chất cơ bản của hàm số logarit:

• Hàm số
  $$y = \\log_a x$$
  đồng biến khi$a > 1$, nghịch biến khi$0 < a < 1$.
• Tập xác định:$x > 0$.
• Hàm không xác định với$x \leq 0$.

Điều kiện áp dụng: Khi làm việc với hàm logarit, luôn cần kiểm tra điều kiện xác định ($x > 0$và $a > 0$,$a \neq 1$).

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức logarit cần nhớ:

• $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a (x^k) = k \log_a x$
• $\log_a a = 1$và $\log_a 1 = 0$
• Đổi cơ số:$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$(với$c > 0, c \neq 1$)

Ghi nhớ công thức bằng cách luyện tập thường xuyên, liên kết với ví dụ thực tế và lập sơ đồ tư duy.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Tính giá trị $\log_2 8$.

• Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định:$8 > 0$,$2 > 0$và $2 \neq 1$.
• Bước 2: Tìm số $x$sao cho$2^x = 8 \Rightarrow x = 3$vì $2^3 = 8$.
• Kết luận:$\log_2 8 = 3$.
• Lưu ý: Nhớ kiểm tra điều kiện xác định trước khi tính logarit.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Giải phương trình$\log_3 (x-1) + \log_3 (x-2) = 1$.

• Bước 1: Điều kiện xác định:$x - 1 > 0$và $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
• Bước 2: Kết hợp công thức:$\log_3 (x-1) + \log_3 (x-2) = \log_3 [(x-1)(x-2)]$.
• Phương trình trở thành:$\log_3 [(x-1)(x-2)] = 1 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 3^1 = 3$.
• Giải:$x^2 - 3x + 2 = 3 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 1 = 0$.
• Giải phương trình: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
• So với điều kiện $x > 2$, chỉ lấy giá trị $x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$.

Kỹ thuật: Luôn áp dụng linh hoạt công thức và kiểm tra điều kiện xác định.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu cơ số $a = 1$hoặc$a \leq 0$, logarit không xác định.
• $x \leq 0$thì $\log_a x$không xác định.
• Liên hệ với hàm số mũ: Nếu$y = a^x$thì $x = \log_a y$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhớ rằng logarit không xác định với$x \leq 0$.
• Không nhầm lẫn cơ số và số lấy logarit.
• Kiểm tra điều kiện xác định cho mỗi phép biến đổi.

5.2 Lỗi về tính toán

• Áp dụng sai công thức nhân/chia/lũy thừa.
• Không kiểm tra lại kết quả có thoả mãn điều kiện xác định.
• Nên sử dụng máy tính kiểm tra kết quả cuối cùng khi có thể.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập Hàm số logarit miễn phí tại đây, không cần đăng ký. Bắt đầu luyện tập để nâng cao kiến thức và theo dõi tiến độ học tập của mình!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hàm số logarit có dạng$y = \log_a x$với$a > 0$,$a \neq 1$,$x > 0$.
• Nắm vững các công thức cơ bản: cộng, trừ, nhân, chia, đổi cơ số.
• Luôn đặt điều kiện xác định khi giải bài toán logarit.
• Luyện tập đều đặn, kiểm tra lại kết quả khi giải phương trình logarit.
• Tạo kế hoạch ôn tập: Nhắc lại kiến thức, luyện tập thực hành và hỏi thầy cô, bạn bè khi gặp khó khăn.