Hàm số logarit – Lý thuyết, Công thức, Ví dụ chi tiết lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm số logarit là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học lớp 11. Việc hiểu rõ khái niệm hàm số logarit không chỉ giúp học tốt chương này mà còn là nền tảng để học các chuyên đề liên quan như phương trình, bất phương trình logarit và ứng dụng trong các lĩnh vực khác. Ngoài vai trò quan trọng trong các kỳ kiểm tra, hàm số logarit còn có nhiều ứng dụng thực tế như mô hình tăng trưởng dân số, tài chính, lý thuyết thông tin,... Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 50.282 bài tập đa dạng và có hướng dẫn chi tiết.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hàm số logarit cơ bản có dạng$y = ext{log}_a x$($a > 0, a \neq 1, x > 0$). Đây là hàm số ngược của hàm số mũ $y = a^x$.
• Ý nghĩa: Hàm logarit trả về số mũ mà khi lấy cơ số $a$nâng lên số đó sẽ được$x$, tức là nếu$y = ext{log}_a x$thì $a^y = x$.
• Các định lý và tính chất chính:
- Hàm số xác định khi$x > 0$,$a > 0$,$a \neq 1$.
- Hàm số xác định trên khoảng$(0, +\infty)$.
- Đạo hàm:$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$.
• Hàm logarit là hàm đồng biến khi$a > 1$, nghịch biến khi$0 < a < 1$.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức logarit cơ bản cần nhớ:
-$\log_a 1 = 0$
-$\log_a a = 1$
-$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
-$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
-$\log_a(x^k) = k \log_a x$
-$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$
Cách ghi nhớ: Ôn luyện thường xuyên, viết lại bảng công thức và giải nhiều bài tập sẽ giúp ghi nhớ lâu dài.
Lưu ý điều kiện: Tất cả các biến$x, y$trong logarit đều phải lớn hơn$0$;$a, b > 0$và $\neq 1$.
Các biến thể: Có thể chuyển đổi giữa logarit các cơ số khác nhau nhờ công thức đổi cơ số nêu trên.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính$\log_2 8$.
Bước 1: Đặt$x = \log_2 8$.
Bước 2: Theo định nghĩa,$2^x = 8$.
Bước 3: Ta biết$8 = 2^3$nên$2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$.
Vậy$\log_2 8 = 3$.
Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện xác định, ở đây$x = 8 > 0$,$a = 2 > 0, a \neq 1$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Giải phương trình$\log_2(x^2-5x+6) = 1$.
Bước 1: Đặt điều kiện$x^2 - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) > 0 \Rightarrow x < 2$hoặc$x > 3$.
Bước 2: Giải phương trình:
$\log_2(x^2-5x+6) = 1 \Leftrightarrow x^2-5x+6 = 2^1 = 2$
$ightarrow x^2-5x+6-2 = 0 \Rightarrow x^2-5x+4 = 0$
$ightarrow x = 1$hoặc$x = 4$.
Bước 3: Đối chiếu điều kiện xác định:
-$x = 1$không thuộc miền xác định ($1 < 2$OK)
-$x = 4$thuộc miền xác định ($4 > 3$OK)
Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = 1$và $x = 4$.

Kỹ thuật giải nhanh: Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải phương trình logarit để tránh sai sót.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi$x = 1$thì $\log_a 1 = 0$với mọi$a > 0, a \neq 1$
- Nếu$a = e$(số Euler), logarit trở thành logarit tự nhiên:$\ln x$
- Khi giải phương trình logarit, nếu gặp logarit của số âm hoặc$0$, kết quả không xác định. Phải loại nghiệm không thỏa điều kiện xác định.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu nhầm logarit là phép chia số mũ.
- Nhầm lẫn giữa cơ số và đối số của logarit.
- Phân biệt rõ: Ở$\log_a x$,$a$là cơ số,$x$là đối số.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên kiểm tra điều kiện xác định ($x > 0$).
- Lỗi nhân chia sai trong công thức logarit.
- Để tránh lỗi, luôn ghi nhớ điều kiện logarit và đối chiếu nghiệm trả về.

Phương pháp kiểm tra kết quả: Thay nghiệm tìm được vào điều kiện xác định và phương trình ban đầu.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay kho 50.282 bài tập Hàm số logarit miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện ngay và theo dõi tiến độ học tập của chính mình để cải thiện kỹ năng giải toán.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Ghi nhớ định nghĩa hàm logarit và điều kiện xác định:$x > 0$,$a > 0$,$a \neq 1$.
- Có thể chuyển đổi các logarit về cùng cơ số.
- Luôn kiểm tra điều kiện trước và sau khi giải các bài toán về logarit.

Checklist:
✔ Hiểu bản chất logarit và cách giải nghĩa bài toán
✔ Nhớ công thức cơ bản và điều kiện sử dụng
✔ Biết kiểm tra và xử lý nghiệm loại
✔ Luyện tập thường xuyên với 50.282 bài tập miễn phí để củng cố kiến thức!