Hàm số mũ – Định nghĩa, tính chất và bài tập cho học sinh lớp 11

Bài viết này cung cấp kiến thức chi tiết về hàm số mũ, từ định nghĩa, tính chất, ví dụ minh họa đến bài tập mẫu có lời giải. Đây là nội dung quan trọng trong chương trình Giải tích 11, giúp học sinh chuẩn bị vững nền tảng cho các chương trình nâng cao sau này.

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Hàm số mũ xuất hiện rộng rãi trong các bài toán tăng trưởng, phân rã, lãi suất kép, lý thuyết xác suất, hóa học, vật lý… Hiểu rõ hàm số mũ giúp học sinh giải quyết các bài toán về tăng trưởng nhanh, tổng quát hoá phép nhân lặp, đồng thời liên hệ chặt chẽ với hàm logarit.

2. Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực$a$sao cho$a>0$và $a<br> \neq 1$. Hàm số mũ có dạng:$f(x)=a^x$, với tập xác định là $\mathbb{R}$và giá trị $f(x)>0$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Tập xác định và giá trị

- Vì lũy thừa với số mũ thực luôn xác định khi cơ số dương, nên$\mathcal D=\mathbb{R}$.
- Kết quả luôn dương, nên giá trị $\mathcal{C}=(0,\,+\infty)$.

b) Đồ thị và biến thiên với ví dụ $f(x)=2^x$

- Bảng giá trị:

x –2 –1 0 1 2
f(x) 0{,}25 0{,}5 1 2 4

- Đồ thị cắt trục Oy tại$f(0)=1$và có tiệm cận ngang$y=0$khi$x\to -\infty$.

- Vì cơ số $a=2>1$, hàm số luôn đồng biến trên$\mathbb{R}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Trường hợp$0<a<1$: hàm số nghịch biến. Ví dụ $f(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^x$.
- Không định nghĩa với cơ số âm hoặc bằng 0.
- Đường tiệm cận ngang luôn là $y=0$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm logarit: đảo của hàm mũ. Nếu$y=a^x$thì $x=\log_a y$.
- Đạo hàm:$\bigl(a^x\bigr)'=a^x\ln a$, giúp giải bài toán liên quan tốc độ tăng trưởng.
- Ứng dụng: mô hình tăng trưởng theo cấp số nhân, lãi suất kép$A=P a^t$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tập xác định, tính chất đơn điệu của$f(x)=3^x$

Giải:
- Cơ số $3>1$, nên$f$xác định trên$\mathbb{R}$và đồng biến.
- Tập giá trị $(0,+\infty)$.
- Tiệm cận ngang$y=0$.

Bài tập 2: Giải phương trình$2^{x-1}=8$

Giải:
$2^{x-1}=8=2^3\implies x-1=3\implies x=4.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn dấu với cơ số $0<a<1$→ kiểm tra tính đồng biến/nghịch biến.
- Quên tiệm cận ngang$y=0$khi vẽ đồ thị.
- Xử lý sai phép biến đổi mũ, ví dụ $a^{x+y}<br> \neq a^x+a^y$.
- Bỏ sót hệ số $\ln a$trong phép lấy logarit khi giải phương trình mũ.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Định nghĩa:$f(x)=a^x$, với$a>0$,$a<br>eq1$.
- Tập xác định:$\mathbb{R}$, giá trị:$(0,+\infty)$.
- Nếu$a>1$thì đồng biến;$0<a<1$thì nghịch biến.
- Tiệm cận ngang:$y=0$.
- Đạo hàm:$f'(x)=a^x\ln a$.
- Liên hệ: hàm logarit, mô hình tăng trưởng.