Hàm tổng cấp số cộng: Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2 – Giải thích chi tiết và hướng dẫn luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tổng cấp số cộng là một trong những kiến thức nền tảng của chương trình Toán lớp 11, xuất hiện xuyên suốt trong phần Đại số. Công thức tổng quát:$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$giúp chúng ta tính nhanh tổng của$n$số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng mà không cần tính từng số hạng một.

Hiểu rõ hàm tổng cấp số cộng giúp học sinh dễ dàng giải các bài toán trong sách giáo khoa và các đề kiểm tra, tiết kiệm thời gian, tăng tính chính xác. Ứng dụng thực tế của công thức này còn xuất hiện trong các lĩnh vực như thống kê, tài chính, lập kế hoạch, xây dựng, ...

Để thành thạo kiến thức này, bạn có thể luyện tập ngay với 42.226+ bài tập miễn phí trên hệ thống, không cần đăng ký, theo dõi tiến độ dễ dàng!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Cấp số cộng (CSC) là dãy số trong đó mỗi số hạng (từ số thứ hai trở đi) hơn số hạng trước nó một hằng số $d$(công sai). Nếu$u_1$là số hạng đầu,$u_2,u_3,...,u_n$là các số hạng tiếp theo thì:
$u_{n} = u_1 + (n-1)d$

• Các tính chất chính: Tổng các số hạng cách đều nhau luôn bằng nhau; nếu biết số hạng đầu và cuối, có thể tính tổng nhanh.
• Điều kiện áp dụng: Áp dụng cho mọi dãy số là cấp số cộng thực sự, các số $u_1$và $u_n$ đều đã xác định rõ ràng.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tổng quát:$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$

• Công thức biến đổi khi chưa biết$u_n$:$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$

• Cách ghi nhớ công thức: Tổng = Số số hạng x (Số đầu + Số cuối) chia 2.

• Điều kiện sử dụng: Khi biết số hạng đầu$u_1$và số hạng cuối$u_n$hoặc công sai$d$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho cấp số cộng$ig\{2, 5, 8, 11,..., u_n\big\}$.
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên.

Lời giải:

•$u_1 = 2$;$d = 3$
•$u_{10} = u_1 + 9d = 2 + 9<em>3 = 29$
•$S_{10} = \frac{10(2 + 29)}{2} = \frac{10</em>31}{2} = 155$

Lưu ý: Xác định đúng$u_1$,$u_{n}$bằng công thức số hạng tổng quát trước khi tính tổng.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho CSC$u_1 = 7$,$d = -2$. Hỏi cần lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên để tổng bằng$0$?

Gọi số số hạng là $n$. Khi đó:
$u_n = u_1 + (n-1)d = 7 + (n-1)(-2) = 7 - 2n + 2 = 9 - 2n$
$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n(7 + 9 - 2n)}{2} = \frac{n(16 - 2n)}{2} = n(8 - n)$
Đặt$S_n = 0$:
$n(8-n) = 0 \Rightarrow n = 0$hoặc$n = 8$(lấy$n>0$nên$n = 8$)
Kết luận: Cần lấy$8$số hạng.

Kỹ thuật giải nhanh: Rút tổng$S_n$thành biểu thức theo$n$, giải phương trình với điều kiện thực tế.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$d = 0$(CSC là hằng số), tổng là $n$lần số hạng đó:$S_n = n u_1$.
• Nếu biết tổng mà cần tìm số hạng đầu/cuối hoặc công sai (dạng ngược), cần lập phương trình giải ẩn.
• Công thức này liên hệ mật thiết với các bài toán dãy số, quy nạp và các dạng toán khảo sát hàm số.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa cấp số cộng và cấp số nhân.
• Xác định sai số hạng đầu hoặc công sai.
• Không phân biệt$u_n$là số hạng thứ $n$, không phải là công sai.

5.2 Lỗi về tính toán

• Áp dụng sai công thức (ví dụ viết nhầm$n-1$thay vì $n$).
• Tính sai$u_n$do nhầm thứ tự hoặc công sai âm.
• Không kiểm tra lại kết quả bằng phép thay hoặc phép thử ngược.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể luyện tập với 42.226+ bài tập hàm tổng cấp số cộng:$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức trên hệ thống. Truy cập nhanh, theo dõi tiến độ, cải thiện kỹ năng hiệu quả!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Công thức tổng:$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$
• Đừng quên xác định đúng số hạng đầu$u_1$, số hạng cuối$u_n$(nếu chưa biết$u_n$, tính theo$u_1$và $d$)
• Kiểm tra lại điều kiện để dãy đúng là cấp số cộng
• Các bước tính: xác định$u_1, d, n$, suy ra$u_n$, cuối cùng áp dụng công thức tổng
• Luyện bài tập đều đặn để tránh lỗi tính toán và thành thạo phương pháp giải

Chúc các bạn học tốt và chinh phục trọn vẹn phần hàm tổng cấp số cộng lớp 11!