1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 11, cấp số cộng là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh hiểu quy luật của dãy số có khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp bằng nhau. Đặc biệt, công thức hàm tổng cấp số cộng giúp bạn tính nhanh tổng n số hạng đầu tiên của một dãy có quy luật cộng đều – một ứng dụng được mở rộng trong xác suất, thống kê, vật lý, tài chính và các kỳ thi. Do đó, hiểu rõ về hàm tổng cấp số cộng và công thức $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$ là kỹ năng bắt buộc với học sinh lớp 11.

2. Định nghĩa và phát biểu công thức hàm tổng cấp số cộng

Cấp số cộng (CSC) là một dãy số trong đó hiệu số của hai số hạng liên tiếp không đổi, gọi là công sai ($d$). Nếu dãy có số hạng đầu tiên$u_1$, số hạng thứ hai$u_2 = u_1 + d$, số hạng thứ ba$u_3 = u_2 + d$,… thì số hạng thứ $n$là:

$u_n = u_1 + (n - 1)d$

Hàm tổng cấp số cộng là tổng của$n$số hạng đầu tiên:

$S_n = u_1 + u_2 + \cdot s + u_n$

Định nghĩa công thức tổng quát:

-$S_n$là tổng$n$số hạng đầu tiên.

-$u_1$là số hạng đầu tiên.

-$u_n$là số hạng thứ $n$của cấp số cộng.

-$n$là số lượng số hạng.

Công thức tổng$n$số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ công thức, ta bắt đầu từ định nghĩa tổng cấp số cộng rồi đi đến ví dụ minh họa.

• Bước 1: Viết tổng$n$số hạng đầu tiên

$S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \cdot s + u_n$

• Bước 2: Thay số hạng tổng quát

Nhớ lại$u_k = u_1 + (k-1)d$với$k$từ $1$ đến$n$.

• Bước 3: Cộng theo cách "ghép đôi"

Viết tổng$S_n$hai lần, một lần theo chiều xuôi và một lần theo chiều ngược:

Cộng hai dãy lại, từng cặp đầu-cuối:

$<br />2S_n = (u_1 + u_n) + (u_2 + u_{n-1}) +... + (u_n + u_1) = n(u_1 + u_n)<br />$

Suy ra:

$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$

Ví dụ minh họa: Tìm tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy 2, 5, 8, 11, ...

$u_1 = 2$,$d = 3$,$n = 10$.

Tìm$u_{10}$:
$u_{10} = u_1 + (10-1)\times 3 = 2 + 9 \times 3 = 2 + 27 = 29$

Tổng:
$S_{10} = \frac{10(2 + 29)}{2} = \frac{10 \times 31}{2} = 155$

4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu chỉ biết$u_1$và công sai$d$, bạn có thể thay$u_n = u_1 + (n-1)d$vào công thức tổng:

$<br />S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}<br />$

Lưu ý khi áp dụng:
- Đảm bảo dãy là cấp số cộng (có công sai không đổi)
- Xác định đúng$u_1, d, n$trước khi áp dụng công thức
- Nếu chỉ biết$u_1$và $u_n$, hãy dùng công thức$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$.
- Nếu biết$u_1$và $d$, nhưng KHÔNG biết$u_n$, hãy tính$u_n$trước hoặc dùng dạng công thức thay thế.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Công thức hàm tổng cấp số cộng liên hệ chặt chẽ với các chủ đề khác như:

- Dãy số và quy luật dãy số

- Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình

- Tính tổng các dãy số trong nhiều bài toán thực tế

- So sánh với cấp số nhân (khác biệt ở phần công thức tổng)

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho dãy cấp số cộng có $u_1 = 4$,$u_2 = 7$. Tính tổng 15 số hạng đầu tiên.

Lời giải:
Công sai:$d = u_2 - u_1 = 7 - 4 = 3$.
Tìm$u_{15}$:
$u_{15} = u_1 + (15-1)d = 4 + 14 \times 3 = 4 + 42 = 46$

Tổng:
$S_{15} = \frac{15(4 + 46)}{2} = \frac{15 \times 50}{2} = 375$

Bài tập 2: Cho dãy cấp số cộng$u_1 = 10$,$d = 2$. Hãy tìm tổng 20 số hạng đầu tiên.

$u_{20} = 10 + (20-1)\times 2 = 10 + 38 = 48$

Tổng:
$S_{20} = \frac{20(10 + 48)}{2} = \frac{20 \times 58}{2} = 580$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn vị trí các số hạng khi tính$u_n$(dễ sai khi$n$lớn, nhớ dùng$u_1 + (n-1)d$)

- Quên kiểm tra dãy có phải là CSC hay không (nên kiểm tra sự khác nhau giữa các số hạng liên tiếp)

- Sử dụng công thức tổng nhưng nhầm lẫn giữa$u_1$,$u_n$hoặc$d$

- Nhầm giữa cấp số cộng và cấp số nhân

Cách tránh: Luôn xác định đúng$u_1$,$u_n$,$d$,$n$trước và sau khi áp dụng công thức.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Công thức hàm tổng cấp số cộng:$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$

- Dùng$u_n = u_1 + (n-1)d$nếu biết$u_1$và $d$.

- Xác định đúng loại dãy (cấp số cộng) trước khi tính toán.

- Hãy luyện tập nhiều bài tập để thành thạo kỹ năng này!