Hàm Trung Bình Cộng Có Trọng Số: Toàn Diện Lý Thuyết, Ví Dụ và Cách Luyện Tập Hiệu Quả Cho Lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm trung bình cộng có trọng số là một nội dung quan trọng thuộc chuyên đề thống kê chương trình Toán lớp 11. Đây là kiến thức nền tảng, xuất hiện nhiều trong các kỳ thi và bài kiểm tra thực tế. Việc hiểu rõ khái niệm này không chỉ giúp bạn học tốt chương trình Toán THPT mà còn ứng dụng rộng rãi trong phân tích dữ liệu, kinh tế, kỹ thuật và cả trong cuộc sống hàng ngày khi cần đánh giá tổng hợp một tiêu chí nào đó từ nhiều nhóm dữ liệu khác nhau.

Nắm vững hàm trung bình cộng có trọng số sẽ giúp bạn:

Bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay với 42.226+ bài tập hàm trung bình cộng có trọng số miễn phí bên dưới!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Trung bình cộng có trọng số (hay trung bình cộng ghép nhóm) là một phép tính trung bình trong đó mỗi giá trị được nhân với một trọng số phản ánh tầm quan trọng (tần số, số lần xuất hiện hoặc độ ưu tiên) của nó.

• Ký hiệu: Giả sử có n giá trị $x_1, x_2,..., x_n$với các trọng số tương ứng$w_1, w_2,..., w_n$.

• Tính chất:

• Điều kiện áp dụng: Khi dữ liệu có giá trị đi kèm trọng số/tần số.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cần nhớ:

$\overline{x}_{w} = \dfrac{w_1x_1 + w_2x_2 +... + w_nx_n}{w_1 + w_2 +... + w_n}$

- Dễ nhớ công thức nhờ hình ảnh: Tổng từng giá trị nhân trọng số, chia tổng trọng số.

- Biến thể: Trọng số có thể là %, tần suất, số lượng, hệ số hoặc bất kỳ đại lượng nào đại diện cho độ quan trọng của$x_i$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Một lớp học có 3 nhóm sinh viên đạt điểm kiểm tra trung bình như sau: Nhóm A đạt 7 điểm (5 bạn), nhóm B đạt 8 điểm (10 bạn), nhóm C đạt 6 điểm (5 bạn). Tính điểm trung bình của cả lớp.

Lời giải từng bước:

$\overline{x}_{w} = \dfrac{5 \times 7 + 10 \times 8 + 5 \times 6}{5 + 10 + 5} = \dfrac{35 + 80 + 30}{20} = \dfrac{145}{20} = 7,25$

Lưu ý: Không lấy trung bình cộng thường của các nhóm!

3.2 Ví dụ nâng cao

Một dự án có 3 giai đoạn cần đánh giá hiệu suất. Hiệu suất trung bình giai đoạn 1 là 60% (đóng góp 20%), giai đoạn 2 là 80% (50%), giai đoạn 3 là 70% (30%). Hiệu suất bình quân cả dự án là bao nhiêu?

Gọi các trọng số là tỷ lệ phần trăm đóng góp từng giai đoạn.

$\overline{x}_w = \frac{60 \times 20 + 80 \times 50 + 70 \times 30}{20 + 50 + 30} = \frac{1200 + 4000 + 2100}{100} = \frac{7300}{100} = 73$

4. Các trường hợp đặc biệt

- Trường hợp tổng trọng số khác 1 (nếu trọng số là tỉ lệ %), cần quy chuẩn tổng trọng số về 1 hoặc 100 để tránh sai sót.

- Nếu giá trị hoặc trọng số âm cần kiểm tra ý nghĩa thực tế để tránh lỗi logic.

- Khi chỉ có một nhóm: Trung bình cộng có trọng số chính là giá trị đó.

- Liên hệ: Trung bình cộng thông thường là trường hợp đặc biệt khi mọi trọng số đều bằng nhau.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

Phân biệt bằng cách kiểm tra gốc ý nghĩa từng giá trị và trọng số.

5.2 Lỗi về tính toán

Cách khắc phục: Kiểm tra lại từng bước, xác nhận tổng trọng số đúng, đối chiếu ý nghĩa thực tế.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 42.226+ bài tập hàm trung bình cộng có trọng số miễn phí để ôn luyện, củng cố kỹ năng. Không cần đăng ký, làm bài và kiểm tra kết quả ngay lập tức. Theo dõi tiến độ học tập dễ dàng, giúp bạn nâng cao thành tích nhanh chóng!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Checklist ôn tập: