1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề này trong các kỳ thi

CHƯƠNG III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM là kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 11, xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, thi học kỳ, và các kỳ thi chuyển cấp. Nội dung này không chỉ là kiến thức nền tảng cho các bài toán thống kê ở lớp 12 mà còn đóng vai trò quan trọng trong thực tế – đặc biệt về cách phân tích và tổng hợp số liệu. Do đó, nắm vững chủ đề này giúp bạn lấy điểm chắc chắn và nâng cao khả năng phân tích thống kê trong các bài toán thực tiễn.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

• Hiểu khái niệm mẫu số liệu ghép nhóm và lý do cần ghép nhóm số liệu.
• Nắm được các khái niệm: số trung bình cộng ghép nhóm, số trung vị ghép nhóm, mốt (mode) của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Nhận biết, phân biệt các dạng bảng phân bố tần số, tần suất của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Biết áp dụng công thức để tính các đại lượng đặc trưng số ghép nhóm (trung bình, trung vị, mốt).

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

a) Số trung bình cộng ghép nhóm:

Giả sử mẫu số liệu chia thành$k$nhóm, mỗi nhóm có tần số $n_i$, giá trị giữa (trung điểm) của khoảng$i$là $x_i$. Công thức tính số trung bình cộng:

b) Số trung vị (mediane) ghép nhóm:

Nếu nhóm trung vị là nhóm chứa vị trí thứ $\frac{N}{2}$, công thức:

Trong đó:$a$là cận dưới của nhóm trung vị,$F_{tr}$là tổng tần số của tất cả các nhóm trước nhóm trung vị,$f_{tr}$là tần số của nhóm trung vị,$h$là độ dài của nhóm.

c) Mốt (mode) ghép nhóm:

Trong đó:$a$là cận dưới của nhóm có tần số lớn nhất,$f_1$là tần số nhóm này,$f_0$là tần số nhóm đứng trước,$f_2$là tần số nhóm đứng sau,$h$là độ dài nhóm.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• Tính số trung bình cộng từ bảng tần số, bảng nhóm.
• Tìm số trung vị khi đã có bảng số liệu ghép nhóm.
• Tìm mốt và xác định nhanh nhóm mốt.
• Giải bài toán tổng hợp: Có thể hỏi cả trung bình cộng, trung vị, mốt về cùng 1 bảng/1 bộ số liệu.
• Bài toán có điều kiện (ví dụ: điền số vào bảng tần số thỏa mãn điều kiện đã cho).

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

• Dạng tính trung bình cộng: Hãy xác định đúng trung điểm nhóm ($x_i$) và tổng tần số ($N$), kiểm tra bảng tổng hợp để tránh sai sót cộng trừ.
• Dạng tìm trung vị: Xác định chính xác vị trí $\frac{N}{2}$, chọn đúng nhóm trung vị, kiểm tra tổng tần số các nhóm phía trước nhóm trung vị.
• Dạng tìm mốt: Xác định ngay nhóm có tần số lớn nhất (nhóm mốt), sau đó xác định và thay đúng$f_0, f_1, f_2$vào công thức.
• Dạng tổng hợp: Đọc kỹ yêu cầu; thường đề sẽ hỏi lần lượt hoặc đồng thời các đại lượng đặc trưng – ưu tiên làm trung bình cộng trước, rồi đến trung vị và mốt.
• Dạng có điều kiện: Vẽ lại bảng, đặt ẩn nếu thiếu và lập phương trình, kết hợp các định nghĩa vừa ôn.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Cho bảng số liệu về chiều cao học sinh (đơn vị: cm) như sau:

(a) Tính số trung bình cộng; (b) Tìm số trung vị; (c) Tìm mốt của mẫu số liệu?

Lời giải:

(a) Trung bình cộng: Các trung điểm nhóm$x_i$là: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5

Tổng tần số:$N = 4 + 8 + 11 + 16 + 7 = 46$

Tính $\sum n_i x_i$

$4 \times 152,5 + 8 \times 157,5 + 11 \times 162,5 + 16 \times 167,5 + 7 \times 172,5 = 610 + 1260 + 1787,5 + 2680 + 1207,5 = 7545$

Vậy:$\overline{x} = \frac{7545}{46} \approx 164,02$(cm)

(b) Trung vị:

$N = 46$, nên$\frac{N}{2} = 23$. Ta tính tổng tần số tích lũy:

- Nhóm 1: 4
- Nhóm 2: 4+8=12
- Nhóm 3: 12+11=23
- Nhóm 4: 23+16=39

23 nằm ở nhóm 3 (160 – 165),

Cận dưới nhóm trung vị $a = 160$, độ dài nhóm$h = 5$, tổng tần số các nhóm trước$F_{tr} = 12$, tần số nhóm trung vị $f_{tr} = 11$

Áp dụng công thức:

$M = 160 + \frac{23 - 12}{11} \times 5 = 160 + \frac{11}{11} \times 5 = 160 + 5 = 165$

(c) Mốt:

Nhóm có tần số lớn nhất: nhóm 4 (165 – 170), tần số $f_1 = 16$,$f_0 = 11$(nhóm trước),$f_2 = 7$(nhóm sau),$a = 165$,$h = 5$

$M_0 = 165 + \frac{16 - 11}{2 \times 16 - 11 - 7} \times 5 = 165 + \frac{5}{32 - 11 - 7} \times 5 = 165 + \frac{5}{14} \times 5 \approx 165 + 1,79 = 166,79$

Kết luận:
- Trung bình cộng:$\approx 164,02$cm
- Trung vị:$165$cm
- Mốt:$166,79$cm

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

• Không xác định đúng trung điểm nhóm khi tính trung bình cộng.
• Lẫn lộn tổng tần số tích lũy và tần số nhóm.
• Quên +1 khi xác định vị trí trung vị nếu tổng tần số là lẻ.
• Xác định sai cận dưới nhóm trung vị hoặc nhóm mốt.
• Sử dụng nhầm tần số vào công thức tính mốt (nhầm$f_0$,$f_1$,$f_2$).
• Bỏ sót nhóm có hai hoặc nhiều nhóm cùng tần số lớn nhất (mốt không duy nhất).

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

a) 2 tuần trước thi:

• Lý thuyết: Học chắc lý thuyết, thuộc lòng các công thức và điều kiện áp dụng.
• Luyện tập: Làm lại toàn bộ bài tập trong sách giáo khoa, bài tập thầy cô giao.

b) 1 tuần trước thi:

• Luyện đề: Làm đề thi thử, đề ôn tập, kiểm tra thời gian giải từng dạng.
• Tổng hợp lỗi sai, ghi chú lại dạng bài dễ nhầm, tập trung luyện các bài tổng hợp cần phối hợp nhiều đại lượng đặc trưng.

c) 3 ngày trước thi:

• Ôn nhanh lý thuyết, làm vài bài mẫu dạng tổng hợp.
• Ngủ nghỉ đủ, tránh học tủ hoặc lo lắng thái quá.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Nháp bảng tổng tần số tích lũy khi làm bài tìm trung vị hoặc mốt.
• Đánh dấu màu hoặc ký hiệu nhóm có tần số lớn nhất để không nhầm mốt.
• Áp dụng đúng công thức, không tính nhầm mẫu số hoặc cộng sót khi tính tổng.
• Đọc kỹ yêu cầu đề, tránh trả lời thiếu (tính trung bình cộng nhưng quên đơn vị, số thập phân làm tròn sai).
• Trao đổi cùng bạn học để phát hiện bài sai, sửa bài nhanh.