Blog

Lớp 11

Hướng Dẫn Ôn Thi Chương II: Dãy Số, Cấp Số Cộng và Cấp Số Nhân Lớp 11 Toàn Diện

T
Tác giả
•
•10 phút đọc
Chia sẻ:
11 phút đọc

1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề này trong các kỳ thi

Chủ đề dãy số, cấp số cộng (CSC), cấp số nhân (CSN) là phần kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Kiến thức này thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ, cũng như trong các đề thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia. Việc thành thạo các kiến thức về dãy số, cách tìm số hạng tổng quát, tính tổng các số hạng giúp học sinh tự tin giải quyết nhanh gọn nhiều dạng bài.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

  • - Định nghĩa dãy số, số hạng tổng quát, dãy số xác định bằng công thức truy hồi.
  • - Định nghĩa, tính chất, công thức CSC (cấp số cộng): số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu.
  • - Định nghĩa, tính chất, công thức CSN (cấp số nhân): số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu, tích n số hạng đầu.
  • - Phương pháp giải các bài toán liên quan: chuyển từ đề bài sang công thức tổng quát, tính tổng/ hiệu hai số hạng, chứng minh một dãy là CSC hoặc CSN.

    • 3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

  • • Số hạng tổng quát của CSC:un=u1+(n−1)du_n = u_1 + (n-1)d, vớiddlà công sai.
  • • Tổng n số hạng đầu của CSC:Sn=n2[u1+un]=n2[2u1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[u_1 + u_n] = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]
  • • Số hạng tổng quát của CSN:un=u1qn−1u_n = u_1q^{n-1}, vớiqqlà công bội.
  • • Tổng n số hạng đầu của CSN (q ≠ 1):Sn=u1qn−1q−1S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}
  • • Tích n số hạng đầu của CSN:Pn=u1u2...un=u1nqn(n−1)2P_n = u_1u_2...u_n = u_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}

    • 4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

  • - Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát khi biết một số số hạng và công sai/công bội
  • - Dạng 2: Tìm tổng/giá trị của một biểu thức liên quan n số hạng đầu
  • - Dạng 3: Tìm các số hạng khác của CSC/CSN khi biết một vài số hạng và tổng số hạng
  • - Dạng 4: Chứng minh dãy là CSC/CSN hoặc không; tìm dãy số thỏa mãn điều kiện cho trước.
  • - Dạng 5: Bài toán nâng cao như tìm số hạng trung bình cộng/nhân, thêm/xóa số hạng để tạo thành CSC/CSN.

    • 5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

  • - Đọc kỹ dữ kiện đề bài, xác định rõ yêu cầu (tìmunu_n,SnS_nhay chứng minh tính chất).
  • - Đối với CSC/CSN, luôn nhớ viết công thức tổng quát và thay số thận trọng.
  • - Với bài toán tổng, nhớ hai công thức tổng của CSC và CSN, kiểm tra điều kiện (q ≠ 1).
  • - Khi tìm số hạng trung bình, hãy nhớ công thức trung bình cộng/nhân ứng với CSC/CSN.
  • - Khi bài yêu cầu chứng minh, nên chuyển về dạngun+1−un=du_{n+1} - u_n = d(CSC) hoặcun+1un=q\frac{u_{n+1}}{u_n} = q(CSN).

    • 6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

    • Bài 1 (Đề thi HK1, Toán 11): Cho dãy CSC(un)(u_n)biếtu1=2u_1 = 2,u2=5u_2 = 5. Tìm số hạng tổng quátunu_nvà S10S_{10}.

    Giải: Số hạng tổng quát:d=u2−u1=3d = u_2 - u_1 = 3.

    un=u1+(n−1)d=2+(n−1)⋅3=3n−1u_n = u_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1
    TínhS10S_{10}:
    S10=102⋅[2+(3⋅10−1)]=5⋅[2+29]=5⋅31=155S_{10} = \frac{10}{2} \cdot [2 + (3 \cdot 10 - 1)] = 5 \cdot [2 + 29] = 5 \cdot 31 = 155

    • Bài 2 (Đề ôn thi THPT): Dãy số (un)(u_n)là CSN vớiu1=4u_1 = 4,q=2q = 2. Tìmu5u_5và S5S_5.
    Hình minh họa: Đồ thị biểu diễn sự thay đổi của tổng Sₙ = u₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) theo số hạng n (n từ 1 đến 10) với u₁ = 1 cho hai trường hợp q = 2 và q = 0.5
    Đồ thị biểu diễn sự thay đổi của tổng Sₙ = u₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) theo số hạng n (n từ 1 đến 10) với u₁ = 1 cho hai trường hợp q = 2 và q = 0.5
    Hình minh họa: Đồ thị thể hiện sự thay đổi của tổng Sₙ theo số hạng n với u₁=2, d=3, minh họa cả hai công thức Sₙ = \frac{n}{2}[u₁ + uₙ] và Sₙ = \frac{n}{2}[2u₁ + (n-1)d]
    Đồ thị thể hiện sự thay đổi của tổng Sₙ theo số hạng n với u₁=2, d=3, minh họa cả hai công thức Sₙ = \frac{n}{2}[u₁ + uₙ] và Sₙ = \frac{n}{2}[2u₁ + (n-1)d]
    Hình minh họa: Đồ thị số hạng của dãy hình học <span class= un=u1qn−1u_n = u_1 q^{n-1} minh họa sự tăng gấp đôi (q = 2) và giảm một nửa (q = 0.5) khi u1=1u_1 = 1 với nn từ 1 đến 10" title="Hình minh họa: Đồ thị số hạng của dãy hình học un=u1qn−1u_n = u_1 q^{n-1} minh họa sự tăng gấp đôi (q = 2) và giảm một nửa (q = 0.5) khi u1=1u_1 = 1 với nn từ 1 đến 10" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
    Đồ thị số hạng của dãy hình học un=u1qn−1u_n = u_1 q^{n-1} minh họa sự tăng gấp đôi (q = 2) và giảm một nửa (q = 0.5) khi u1=1u_1 = 1 với nn từ 1 đến 10

    Giải:
    u5=4×25−1=4×16=64u_5 = 4 \times 2^{5-1} = 4 \times 16 = 64

    S5=4×25−12−1=4×32−11=4×31=124S_5 = 4 \times \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 4 \times \frac{32 - 1}{1} = 4 \times 31 = 124

    • Bài 3: Cho ba số aa,bb,cctheo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một CSC, biết tổng của chúng là 1212, hiệu giữa số lớn nhất và nhỏ nhất là 44. Đi tìm các số đó.

    Giải: Gọiaa,a+da+d,a+2da+2d. Ta có:
    a+(a+d)+(a+2d)=12⇒3a+3d=12⇒a+d=4a + (a+d) + (a+2d) = 12 \Rightarrow 3a + 3d = 12 \Rightarrow a + d = 4
    Hiệu:(a+2d)−a=2d=4⇒d=2⇒a=2(a+2d) - a = 2d = 4 \Rightarrow d = 2 \Rightarrow a = 2
    Vậy ba số là 2,4,62, 4, 6.

    • Bài 4: Chứng minh(un)(u_n)là CSN nếuun+1=3unu_{n+1} = 3u_nvà u1=2u_1 = 2.

    Giải:
    Ta có un+1un=3\frac{u_{n+1}}{u_n} = 3với∀n\forall n. Do đó unu_nlà CSN vớiq=3q = 3,u1=2u_1 = 2.
    Số hạng tổng quát:un=2⋅3n−1u_n = 2 \cdot 3^{n-1}

    7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

  • - Nhầm lẫn giữa CSC và CSN, đặc biệt khi chuyển công thức tổng quát.
  • - Tính sai công saiddhoặc công bộiqqdo thiếu cẩn thận.
  • - Áp dụng sai số hạng tổng quát, đặt nhầm chỉ số nnhoặcn−1n-1.
  • - Quên điều kiệnq≠1q \neq 1khi tính tổng CSN.
  • - Quá lạm dụng máy tính mà không kiểm tra lý luận toán học.

    • 8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian (2 tuần, 1 tuần, 3 ngày trước thi)

    • 2 tuần trước thi:
    - Hệ thống hóa lý thuyết, vẽ sơ đồ tư duy cho các công thức.
    - Làm lại bài tập SGK và SBT.
    - Giải ít nhất 10 đề kiểm tra, đề thi thử.

    • 1 tuần trước thi:
    - Ôn lại công thức, ghi chú lỗi hay mắc.
    - Làm bài tập dạng tổng hợp, luyện tập tìm nhanh công sai, công bội, kiểm tra lại tốc độ giải bài.

    • 3 ngày trước thi:
    - Làm đề trọn thời gian để kiểm tra sức bền.
    - Xem lại các công thức sai thường gặp.
    - Ngủ đủ giấc, giữ tinh thần lạc quan.

    9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

  • - Khi thấy số hạng liên tiếp, hãy kiểm tra tính chênh lệch (CSC) hoặc tỉ số (CSN) để xác định loại dãy.
  • - Nhẩm nhanh tổng/hiệu và đặt biến số thông minh cho các bài tìm số hạng.
  • - Chèn công thức LaTeX vào sổ tay ôn thi để ôn đáp nhanh.
  • - Nếu làm trắc nghiệm, cán các giá trị số đặc biệt như q=1,q=−1q=1, q=-1 để tránh trường hợp đặc biệt.
  • - Kiểm tra lại đơn vị số hạng, chỉ số, logic dãy trước khi kết thúc bài.
    • Hỏi đáp về bài viết

    Xem các câu hỏi và câu trả lời từ cộng đồng về bài viết này.

    Chưa có câu hỏi nào

    Hãy là người đầu tiên đặt câu hỏi về bài viết này!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".