Khảo sát hàm số logarit: Lý thuyết, ví dụ & luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khảo sát hàm số logarit là một phần trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Đây là kỹ năng giúp học sinh hiểu sâu về bản chất và cách biến đổi của hàm số logarit, từ đó mô tả được đồ thị và các tính chất quan trọng như tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận,... Việc hiểu chắc khái niệm này không chỉ cần thiết cho các bài kiểm tra, đề thi mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các dạng toán khó ở lớp 12 và thi đại học.

Khảo sát hàm số logarit xuất hiện nhiều trong thực tế như mô hình tăng trưởng dân số, tính lãi suất, các bài toán về mức âm thanh, độ sáng,... Nắm vững lý thuyết sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán ứng dụng trong đời sống.

Hãy tận dụng kho 42.226+ bài tập miễn phí ở cuối bài viết để luyện tập, củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hàm số logarit với cơ số $a > 0$,$a \neq 1$là hàm số $f(x) = \log_a{x}$, xác định với$x > 0$.
• Khái niệm quan trọng: Tập xác định, tính đơn điệu, tiệm cận, cực trị, đồ thị.
• Điều kiện xác định:$x > 0$.
• Các tính chất chính:
  - Hàm số $y = \log_a{x}$ đồng biến trên$(0; +\infty)$nếu$a > 1$, nghịch biến nếu$0 < a < 1$.
  - Đồ thị hàm số đi qua điểm$(1; 0)$.
  - Trục Oy là tiệm cận đứng của hàm số logarit.

2.2. Công thức và quy tắc cần nhớ

• $\log_a{b} = \frac{\ln{b}}{\ln{a}}$(chuyển đổi cơ số)
• $\log_a{(xy)} = \log_a{x} + \log_a{y}$
• $\log_a{\frac{x}{y}} = \log_a{x} - \log_a{y}$
• $\log_a{x^k} = k\log_a{x}$
• Để ghi nhớ nhanh, hãy so sánh các công thức này với quy tắc lũy thừa và luyện tập nhiều dạng bài áp dụng.
• Chỉ áp dụng các công thức trên khi các điều kiện xác định ($x > 0$,$y > 0$) thỏa mãn.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1. Ví dụ cơ bản

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \log_2{x}$.

1. Tập xác định:$x > 0$.
2. Chiều biến thiên: Hàm đồng biến trên$(0;+\infty)$.
3. Điểm đặc biệt: Đi qua$A(1;0)$,$B(2;1)$.
4. Tiệm cận: Trục Oy ($x=0$) là tiệm cận đứng.
5. Vẽ đồ thị dựa trên các thông tin trên.

Lưu ý: Chỉ lấy giá trị $x > 0$, không có giá trị âm.

3.2. Ví dụ nâng cao

Khảo sát hàm số $y = \log_3{(x-1)}$.

1. Tập xác định:$x-1>0 \Leftrightarrow x>1$
2. Hàm đồng biến vì $3>1$.
3. Điểm đặc biệt: Đi qua$(2;0)$.
4. Tiệm cận đứng:$x=1$.
5. Kỹ thuật nhanh: Di chuyển đồ thị $y=\log_3{x}$sang phải 1 đơn vị.

Chú ý khi khảo sát hàm chứa biểu thức logarit phức tạp: Luôn đặt điều kiện xác định trước khi khảo sát các tính chất khác.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Hàm số có biểu thức bên trong logarit âm hoặc bằng 0: không xác định.
• Hàm logarit ghép với phương trình chứa nhiều ẩn/phép biến đổi: Đặt điều kiện cẩn thận.
• Liên hệ với hàm số mũ: Nếu$y = \log_a{x}$thì $x = a^y$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1. Lỗi về khái niệm

• Quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới nhận xét sai về tập xác định.
• Nhầm lẫn giữa đồ thị logarit và đồ thị hàm số mũ.
• Cách ghi nhớ: So sánh điểm đặc biệt và chiều biến thiên của hai loại hàm.

5.2. Lỗi về tính toán

• Áp dụng nhầm công thức khi chưa kiểm tra điều kiện xác định.
• Quy đổi cơ số sai.
• Cách kiểm tra: Thay giá trị vào bài toán, đối chiếu với đồ thị.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập kho 42.226+ bài tập Khảo sát hàm số logarit miễn phí! Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập và kiểm tra kết quả ngay lập tức, theo dõi tiến độ và nâng cao kỹ năng giải toán mỗi ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hàm logarit chỉ xác định khi biểu thức bên trong > 0.
• Ghi nhớ các tính chất cơ bản và công thức logarit.
• Luôn khảo sát tập xác định trước.
• Ôn tập bằng việc luyện tập bài tập nhiều dạng.
• Lập checklist: (1) Đặt điều kiện xác định, (2) Xác định chiều biến thiên, (3) Tìm điểm đặc biệt, (4) Tìm tiệm cận, (5) Vẽ phác thảo đồ thị.
• Lên kế hoạch ôn luyện: Học lý thuyết – Làm ví dụ – Giải bài tập thực hành.