Khảo sát hàm số logarit: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khảo sát hàm số logarit là một trong những bài toán trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11, nằm ở chuyên đề hàm số mũ và hàm số logarit. Việc hiểu rõ khảo sát hàm logarit giúp học sinh:

• - Nắm vững nền tảng khi giải các bài toán hàm số phức tạp hơn ở các lớp sau.
• - Ứng dụng trực tiếp vào giải toán thực tiễn như tính lãi suất, tăng trưởng dân số, vật lý, hóa học...
• - Luyện kỹ năng tìm miền xác định, khảo sát tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số.
• Để thành thạo, các bạn có thể luyện tập với 42.226+ bài tập Khảo sát hàm số logarit miễn phí ngay dưới đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Hàm số logarit cơ bản có dạng: $y = \log_a x$(với$a > 0$,$a \neq 1$,$x > 0$).

- Miền xác định (domain):$x > 0$.
- Tính đơn điệu:
- Nếu$a > 1$: Hàm số đồng biến trên$(0; +\infty)$.
- Nếu$0 < a < 1$: Hàm số nghịch biến trên$(0; +\infty)$.

- Không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tuyệt đối.

- Hàm không có tiệm cận ngang, có tiệm cận đứng tại$x = 0$.

- Đồ thị đi qua điểm$(1; 0)$.

2.2 Công thức và quy tắc

• - Công thức đạo hàm hàm số logarit:
  $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0, a > 0, a \neq 1)$
• - Định nghĩa logarit:
  $a^y = x \Leftrightarrow y = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1, x > 0)$
• - Quy tắc biến đổi logarit:
  $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
  $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
  $\log_a(x^k) = k\log_a x$

Cách ghi nhớ: Quy tắc cộng - nhân, trừ - chia, mũ - nhân.

Lưu ý điều kiện: Đối số của logarit luôn dương$(x > 0)$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

- Khảo sát hàm số $y = \log_2 x$.

• a) Miền xác định:$x > 0$.
• b) Đạo hàm:$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 2} > 0$với$x > 0$, nên hàm đồng biến.
• c) Đồ thị đi qua$(1;0)$. Khi$x \rightarrow 0^+$,$y \rightarrow -\infty$. Khi$x \rightarrow +\infty$,$y \rightarrow +\infty$.
• d) Hàm không có cực trị, không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Lưu ý quan trọng: Chỉ xét$x > 0$khi khảo sát!

3.2 Ví dụ nâng cao

- Khảo sát và vẽ đồ thị $y = \log_3(2x - 1)$.

• a) Miền xác định:$2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$.
• b) Đạo hàm:$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(2x - 1) \ln 3} > 0$với$x > \frac{1}{2}$⇒ hàm đồng biến trên miền xác định.
• c) Đồ thị có tiệm cận đứng$x = \frac{1}{2}$, đi qua điểm$(1;0)$.

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định miền xác định trước, rồi tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên.

4. Các trường hợp đặc biệt

• - Với hàm$y = \log_a(f(x))$: Xác định thêm điều kiện$f(x) > 0$.
• - Hàm có thể có cực trị nếu là tổ hợp nhiều logarit hoặc thêm hệ số âm.
• - Mối liên hệ với hàm mũ:$y = \log_a x$là hàm ngược của$y = a^x$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• - Hiểu nhầm logarit cho mọi$x$(quên điều kiện$x > 0$).
• - Nhầm lẫn logarit với hàm mũ.

Cách phân biệt: Hàm mũ có dạng$a^x$, hàm logarit dạng$\log_a x$.

5.2 Lỗi về tính toán

• - Áp dụng sai công thức đạo hàm logarit.
• - Quên kiểm tra điều kiện xác định.

Phương pháp kiểm tra: Luôn đặt điều kiện với đối số logarit trước mọi bước tính toán.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 42.226+ bài tập Khảo sát hàm số logarit miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và kiểm tra trình độ của bạn!

• - Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện điểm số dễ dàng.
• - Các dạng bài tập cơ bản đến nâng cao, bám sát chương trình lớp 11.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• - Khảo sát hàm số logarit cần đặc biệt chú ý đến miền xác định, tính đơn điệu, và các điểm đặc biệt của đồ thị.
• - Nhớ kỹ các công thức đạo hàm, quy tắc logarit.
• - Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải.

Checklist ôn tập: Đọc lý thuyết, thuộc công thức, làm ví dụ, luyện bài tập miễn phí hàng ngày để đạt điểm cao!