Khảo sát hàm số logarit: Lý thuyết, ví dụ chi tiết và hướng dẫn làm bài cho lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khảo sát hàm số logarit là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Nó giúp học sinh hiểu rõ bản chất, đặc điểm của hàm số logarit và áp dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình cũng như các bài toán thực tế. Thành thạo phần này sẽ nâng cao tư duy toán học, rèn kỹ năng giải bài toán và chuẩn bị cho các kỳ thi lớn như THPT Quốc Gia.

Việc hiểu rõ khảo sát hàm số logarit giúp bạn nhận biết được các tính chất hàm số, giải quyết các bài toán về cực trị, đồ thị, tương giao,... Đặc biệt, nhiều bài toán thực tiễn như tính tuổi, tăng trưởng vi khuẩn, lãi suất ngân hàng đều liên quan tới logarit. Hãy luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập để làm chủ kiến thức nền tảng này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hàm số logarit cơ bản có dạng$y = ext{log}_a x$với$a > 0$,
  $$a$$
  e 1<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˋ</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">và</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˋ</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>x > 0
  .
• Tập xác định:$D = (0; +\,\infty)$(vì $x > 0$).
• Các tính chất: Hàm số tăng trên$(0; +\infty)$khi$a > 1$, và nghịch biến trên$(0; +\infty)$khi$0 < a < 1$.
• Nghiệm của hàm số:$ext{log}_a x = 0 \Leftrightarrow x = 1$
• Đồ thị: Đường cong đi qua điểm$(1; 0)$; tiệm cận đứng$x=0$; không cắt trục hoành khi$x < 0$.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức đạo hàm:$\displaystyle \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$
• Công thức đổi cơ số:$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
• Công thức logarit cơ bản:$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$;$\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$;$\log_a x^k = k \log_a x$
• Điều kiện áp dụng:$x, y > 0; a > 0, a \ne 1$
• Các biến thể: Kết hợp với hàm số mũ, tích phân, đạo hàm, bài toán thực tế.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \log_2 x$.

• Tập xác định:$x > 0$
• Đạo hàm:$y' = \frac{1}{x \ln 2} > 0$với mọi$x > 0$\Rightarrow$hàm số đồng biến.
• Giá trị tại$x=1$:$y = \log_2 1 = 0 \Rightarrow$ đồ thị đi qua$(1, 0)$.
• Tiệm cận đứng:$x = 0$.

Lưu ý: Khi khảo sát hàm logarit, đặc biệt lưu ý điều kiện xác định$x > 0$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \log_2(x-1) - \log_2(x+1)$.

• Điều kiện xác định:$x - 1 > 0$và $x + 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• Đưa về dạng$\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$.
• Đạo hàm:$y' = \frac{1}{(x - 1) \ln 2} - \frac{1}{(x + 1) \ln 2} = \frac{2}{(x^2-1)\ln 2}$
• Hàm số đồng biến trên$(1; +\infty)$vì $y' > 0$.
• Tìm giao điểm với trục hoành:$\frac{x-1}{x+1} = 1 \Rightarrow x-1 = x+1 \Rightarrow$không tồn tại giao điểm.

Kỹ thuật: Luôn thu gọn biểu thức logarit, xác định điều kiện xác định sớm nhất và sử dụng đạo hàm để xét đồng biến/nghịch biến.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$a < 1$, hàm số nghịch biến (giảm dần).
• Logarit của số âm và số 0 không xác định (không tồn tại yếu tố thực với$x \le 0$).
• Một số bài toán yêu cầu kiểm tra điều kiện xác định ở từng bước biến đổi, không chỉ ở bước đầu.
• Mối quan hệ với hàm số mũ:$ext{log}_a x = y \Leftrightarrow x = a^y$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Quên điều kiện xác định của logarit.
• Nhầm lẫn logarit với hàm số mũ.
• Nhầm lẫn về tính chất đồng biến/nghịch biến do cơ số.
• Cách khắc phục: So sánh với bảng thuộc tính và ghi nhớ qua ví dụ.

5.2 Lỗi về tính toán

• Áp dụng sai công thức đạo hàm logarit.
• Tính toán nhầm lẫn thứ tự phép toán logarit.
• Không kiểm tra lại điều kiện xác định sau khi tìm nghiệm.
• Giải pháp: Luôn kiểm tra đáp số bằng cách thay lại vào điều kiện ban đầu của bài toán.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập ngay kho bài tập Khảo sát hàm số logarit với hàng trăm bài luyện tập miễn phí, đầy đủ từ cơ bản đến nâng cao.
• Không cần đăng ký – Bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức.
• Hệ thống tự động theo dõi tiến độ, giúp bạn nhận biết điểm mạnh, điểm yếu và cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Đảm bảo thuộc các công thức cơ bản về logarit và biết cách áp dụng.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước và sau quá trình giải bài toán.
• Thường xuyên luyện tập với các bài toán thực tiễn và nâng cao.
• Checklist ôn tập: Định nghĩa, tính chất, đồ thị, công thức logarit, sự biến thiên – cực trị, lỗi thường gặp.
• Lên kế hoạch ôn tập và luyện bài hằng ngày để nắm chắc kiến thức Khảo sát hàm số logarit.