1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của khảo sát hàm số mũ

Khảo sát hàm số mũ là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp học sinh hiểu rõ đặc điểm và ứng dụng của các hàm có dạng số mũ. Qua đó, học sinh nắm vững kỹ thuật phân tích sự biến thiên, tiệm cận và đồ thị, đồng thời phát triển tư duy giải tích. Chủ đề này liên kết chặt chẽ với khái niệm logarit, đạo hàm và ứng dụng trong thực tiễn như tăng trưởng dân số, lãi suất kép, phóng xạ.

2. Định nghĩa chính xác của hàm số mũ

Hàm số mũ có dạng chung là $y=a^x$, với:

• Cơ số $a$là một hằng số dương khác 1 (tức$a>0$và $a<br>eq1$).

• Biến số $x$là số thực bất kỳ.

3. Các bước khảo sát hàm số mũ

Để khảo sát hàm số $y=a^x$, ta thực hiện tuần tự các bước sau:

3.1. Tập xác định

Tất cả các giá trị thực của$x$đều hợp lệ, nên tập xác định là$\mathbb R$.

3.2. Đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến

Ta có đạo hàm của$y=a^x$là:

$y' = a^x\ln a.$

• Nếu$a>1$, thì $\ln a>0$và $y'>0$với mọi$x$, nên hàm số đồng biến trên$\mathbb R$.

• Nếu$0<a<1$, thì $\ln a<0$và $y'<0$với mọi$x$, nên hàm số nghịch biến trên$\mathbb R$.

3.3. Tiệm cận

Xét giới hạn khi$x\to -\infty$và $x\to +\infty$:

• Với$a>1$:

$\lim_{x\to -\infty}a^x=0,\quad \lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty.$

Như vậy đường$y=0$là tiệm cận ngang khi$x\to -\infty$.

• Với$0<a<1$:

$\lim_{x\to -\infty}a^x=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}a^x=0.$

Đường tiệm cận ngang cũng là $y=0$, nhưng ở chiều ngược lại.

3.4. Đồ thị

• Điểm cố định: hàm số luôn đi qua$(0,1)$vì $a^0=1$.

• Đồ thị đối xứng qua đường thẳng$x$nếu xét hàm nghịch đảo$x=\log_a y$.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số $y=2^x$.

Bước 1: Tập xác định$\mathbb R$.

Bước 2:$y'=2^x\ln2>0$, hàm đồng biến.

Bước 3:$\lim_{x\to-\infty}2^x=0$,$\lim_{x\to+\infty}2^x=+\infty$, tiệm cận ngang$y=0$.

Bước 4: Đồ thị qua$(0,1)$, đồng biến.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Cơ số $a=e$là hàm mũ tự nhiên:$y=e^x$. Công thức đạo hàm đơn giản:$y'=e^x$.

• Không khảo sát khi$a\le0$hoặc$a=1$vì khi đó hàm không đạt dạng số mũ chuẩn.

6. Mối liên hệ với các khái niệm khác

• Logarit: nghịch đảo của hàm mũ,$y=a^x \Longleftrightarrow x=\log_a y$.

• Đạo hàm: kiến thức quan trọng để khảo sát tính đơn điệu.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát hàm số $y=\left(\tfrac{1}{3}\right)^x+2$.

Lời giải:

• Tập xác định:$\mathbb R$.

• Đạo hàm:$y'=\left(\tfrac{1}{3}\right)^x\ln\tfrac{1}{3}<0$, hàm nghịch biến.

• Giới hạn:$\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$,$\lim_{x\to+\infty}y=2$; tiệm cận ngang$y=2$.

• Đồ thị: đi qua$(0,3)$, nghịch biến.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm dấu của$\ln a$dẫn đến kết luận ngược về đồng biến.

• Quên cộng hằng số khi khảo sát hàm số dạng$a^x+k$.

• Viết nhầm tập xác định hoặc bỏ qua tiệm cận ngang.

9. Tóm tắt các điểm chính cần nhớ

• Hàm số mũ $y=a^x$có tập xác định$\mathbb R$.

• Đạo hàm$y'=a^x\ln a$giúp khảo sát đơn điệu.

• Tiệm cận ngang là $y=0$hoặc$y=k$nếu có dịch chuyển.

• Đồ thị luôn qua$(0,1)$trước khi dịch chuyển.