Giới thiệu về khảo sát hàm số mũ

Khảo sát hàm số mũ là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp học sinh hiểu rõ tính chất, biến thiên và đồ thị của các hàm có dạng$f(x)=a^x$. Nội dung này không chỉ củng cố kiến thức về hàm số mà còn ứng dụng vào giải phương trình, bất phương trình, bài toán tối ưu và thực tiễn.

Định nghĩa hàm số mũ

Cho một hằng số $a$sao cho$a>0$và $a<br>eq1$. Hàm số được gọi là hàm số mũ nếu có dạng:$f(x)=a^x$

Trong đó:

- Đồ thị xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.

- Giá trị của$f(x)$luôn dương:$f(x) \in (0,\infty)$.

Các bước khảo sát hàm số mũ

Để khảo sát hàm số $f(x)=a^x$, ta thực hiện tuần tự các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định:$x \in \mathbb{R}$.

2. Tìm giới hạn tại vô cực:
- Nếu$a>1$thì $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$,$\lim_{x\to-\infty}a^x=0$.
- Nếu$0<a<1$thì $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$,$\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$.

3. Khảo sát đơn điệu: đạo hàm$f'(x)=a^x\ln a$.
- Nếu$a>1$,$\ln a>0$, hàm đồng biến trên$\mathbb{R}$.
- Nếu$0<a<1$,$\ln a<0$, hàm nghịch biến trên$\mathbb{R}$.

4. Tiệm cận:đồ thị tiệm cận trục Ox khi$x\to-\infty$hoặc$x\to+\infty$tùy trường hợp như trên. Không có tiệm cận đứng.

5. Vẽ đồ thị dựa trên các tính chất đã xác định.

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát$f(x)=2^x$.

- Điều kiện xác định:$x \in \mathbb{R}$.
- Giới hạn:$\lim_{x\to+\infty}2^x=+\infty$,$\lim_{x\to-\infty}2^x=0$.

- Đạo hàm:$f'(x)=2^x\ln2>0$với mọi$x$, nên hàm đồng biến.
- Tiệm cận ngang:$y=0$khi$x\to-\infty$.
- Đồ thị đi qua điểm$(0,1)$, tăng nhanh về phía$+\infty$.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu$a=1$, hàm số trở thành hằng$f(x)=1$. Không khảo sát biến thiên.
- Nếu$a<0$,$a^x$không được định nghĩa với$x$thực (trừ trường hợp$x$nguyên chẵn).
- Hằng số $e \approx 2.71828$thường dùng khi tích phân, đạo hàm liên quan hàm số mũ tự nhiên.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Logarit: hàm mũ là hàm nghịch đảo của hàm logarit cơ số $a$: nếu$y=a^x$thì $x=\log_a y$.
- Đạo hàm và tích phân: dùng công thức$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$,$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$.
- Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình mũ và thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất liên tục).

Bài tập mẫu có lời giải

Bài tập 1: Khảo sát hàm số $f(x)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^x$.

Giải: Điều kiện$x \in \mathbb{R}$. Vì $0<\tfrac{1}{3}<1$, ta có
-$\lim_{x\to+\infty}(\tfrac{1}{3})^x=0$,$\lim_{x\to-\infty}(\tfrac{1}{3})^x=+\infty$.
- Đạo hàm$f'(x)=(\tfrac{1}{3})^x\ln(\tfrac{1}{3})<0$, hàm nghịch biến.
- Tiệm cận ngang$y=0$.
- Đồ thị: đi xuống từ $+\infty$về 0.

Bài tập 2: Khảo sát hàm số $g(x)=e^{-x}+2$.

Giải:
- ĐK:$x \in \mathbb{R}$.
-$\lim_{x\to+\infty}g(x)=2$,$\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$.
-$g'(x)=-e^{-x}<0$, hàm nghịch biến.
- Tiệm cận ngang$y=2$.
- Đồ thị: dịch từ đồ thị $e^{-x}$lên 2 đơn vị.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên điều kiện$a>0$,$a<br>eq1$.
- Nhầm dấu của$\ln a$dẫn đến rối đơn điệu.
- Bỏ qua bước tìm giới hạn ở vô cực.
- Vẽ nhầm vị trí tiệm cận.

Tóm tắt và các điểm cần nhớ

1. Hàm số mũ $f(x)=a^x$xác định với$a>0$,$a<br>eq1$.
2. Domain:$\mathbb{R}$, Range:$(0,\infty)$.
3. Đạo hàm:$f'(x)=a^x\ln a$(đồng biến nếu$a>1$, nghịch biến nếu$0<a<1$).
4. Giới hạn và tiệm cận ngang: phụ thuộc giá trị $a$.
5. Liên hệ mật thiết với logarit, đạo hàm và tích phân.
6. Lưu ý điều kiện cơ bản và thứ tự các bước khảo sát.