1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khoảng cách giữa hai điểm, điểm và mặt phẳng là kiến thức trọng tâm trong chương Hình học không gian lớp 11. Hiểu rõ các khái niệm này giúp bạn giải quyết nhanh gọn các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các đối tượng trong không gian và hỗ trợ học tốt các chương tiếp theo.

Việc nắm vững khoảng cách không chỉ giúp bạn đạt điểm cao trong kiểm tra mà còn ứng dụng được vào các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, bản đồ, tin học,... Nhờ có 39.025+ bài tập luyện tập hoàn toàn miễn phí, bạn sẽ rèn luyện kỹ năng thực hành một cách hiệu quả!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa:
  - Khoảng cách giữa hai điểm$A(x_1, y_1, z_1)$và $B(x_2, y_2, z_2)$là độ dài đoạn thẳng$AB$.
• Khoảng cách từ một điểm$M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng$(P): Ax + By + Cz + D = 0$là độ dài đoạn thẳng vuông góc từ $M$ đến mặt phẳng$(P)$.
• Tính chất:
  - Khoảng cách là một số không âm.
  - Có duy nhất một đoạn vuông góc ngắn nhất từ điểm tới mặt phẳng.
• Chỉ áp dụng được trong không gian 3 chiều, khi biết rõ tọa độ các điểm/mặt phẳng.

2.2 Công thức và quy tắc

• Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$:
  $d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
• Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng$(P): Ax + By + Cz + D = 0$:
  $d(M, (P)) = \frac{\left|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D \right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
• Cách nhớ: Nghĩ đến khoảng cách là 'đ độ lớn' của các hiệu toạ độ hoặc giá trị tuyệt đối của biểu thức chia cho căn tổng bình phương các hệ số.
• Điều kiện áp dụng: Phải biết chính xác toạ độ hoặc phương trình mặt phẳng.
• Biến thể:
  - Nếu mặt phẳng cho dưới dạng khác, cần đưa về dạng tổng quát trước khi áp dụng công thức.
  - Các dạng khác như khoảng cách giữa điểm tới đường thẳng, hai đường thẳng... (sẽ học ở các bài khác)

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai điểm$A(1,2,3)$và $B(4,6,3)$.

Lời giải từng bước:

• Áp dụng công thức:
  $d(A, B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9+16+0} = \sqrt{25} = 5$

Lưu ý:
- Tính toán cần cẩn thận ở dấu hiệu và bình phương.
- Bình phương số âm vẫn ra số dương.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho điểm$M(1, -1, 2)$và mặt phẳng$P: 2x - y + 2z - 3 = 0$. Tính khoảng cách từ $M$ đến$P$.

Lời giải sẽ như sau:

• Viết lại phương trình mặt phẳng ở dạng tổng quát.
  Xác định$A=2$,$B=-1$,$C=2$,$D=-3$.
• Tính biểu thức:
  $|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D| = |2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 - 3| = |2 + 1 + 4 - 3| = |4|$
• Tính mẫu số:
  $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
• Kết quả:
  $d = \frac{4}{3}$

Kỹ thuật giải nhanh: Đặt số liệu vào biểu thức, giải tuần tự, tránh nhầm dấu và giữ số liệu chính xác.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khi hai điểm trùng nhau thì khoảng cách bằng$0$.
• Nếu điểm nằm trên mặt phẳng thì khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng cũng là $0$.
• Nếu mặt phẳng không ở dạng tổng quát (có thể cần quy đổi, chia các hệ số nếu cần).
• Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng, hai đường thẳng chéo nhau... sẽ có các công thức khác.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa khoảng cách với độ dài đường xiên, hoặc không lấy giá trị tuyệt đối khi cần thiết.
• Quên rằng khoảng cách luôn không âm.
• Để phân biệt, hãy nhớ chỉ có một đường vuông góc ngắn nhất.

5.2 Lỗi về tính toán

• Sai sót trong bình phương chênh lệch, dấu hiệu, hoặc mẫu số.
• Nhầm hệ số $A, B, C, D$của phương trình mặt phẳng.
• Cần kiểm tra lại kết quả bằng cách thay lại giá trị và rà soát toàn bộ phép tính.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 39.025+ bài tập Khoảng cách giữa hai điểm, điểm và mặt phẳng miễn phí. Bạn không cần đăng ký, có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức trên nền tảng, theo dõi tiến độ học tập của mình và cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Khoảng cách hai điểm: Dùng công thức căn bậc hai tổng bình phương chênh tọa độ.
• Khoảng cách điểm tới mặt phẳng: Giá trị tuyệt đối biểu thức chia căn tổng bình phương hệ số.
• Lỗi dễ mắc: Nhầm dấu, quên lấy giá trị tuyệt đối, nhầm hệ số, thiếu kiểm tra kết quả.
• Luôn luyện tập, thực hành nhiều dạng bài và đúc rút kinh nghiệm cá nhân qua mỗi lần giải bài tập.

Checklist ôn tập: Đọc lý thuyết, ghi nhớ công thức, tự giải ví dụ, làm bài tập luyện tập miễn phí và xem lại kỹ càng các lỗi đã phạm phải để tiến bộ vững chắc.