Khoảng cách giữa hai điểm và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11 (Toán 11

Bài viết này giúp học sinh lớp 11 nắm vững khái niệm khoảng cách giữa hai điểm và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian ba chiều. Nội dung bao gồm định nghĩa, công thức LaTeX, ví dụ minh họa, bài tập mẫu có lời giải chi tiết, các lưu ý và những lỗi thường gặp khi áp dụng.

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình hình học không gian lớp 11, khái niệm khoảng cách đóng vai trò then chốt để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo giúp các em tính được độ dài, xác định hình dạng, phân tích mối quan hệ song song, vuông góc, khoảng cách ngắn nhất giữa các đối tượng hình học.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Chúng ta xét trong hệ tọa độ $Oxyz$hai khái niệm sau:

2.1 Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm$A(x_1,y_1,z_1)$và $B(x_2,y_2,z_2)$, khoảng cách giữa hai điểm được xác định bởi công thức:

$d_{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.$

2.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm$M(x_0,y_0,z_0)$và mặt phẳng$(P): Ax + By + Cz + D = 0$. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc từ $M$ đến$(P)$, cho bởi:

$d = \frac{\bigl|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1 Ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm

Cho$A(1,2,3)$và $B(4,0,-1)$. Tính khoảng cách$AB$.

Bước 1: Xác định toạ độ của hai điểm:$(x_1,y_1,z_1)=(1,2,3)$,$(x_2,y_2,z_2)=(4,0,-1)$.

Bước 2: Tính hiệu các toạ độ:$x_2-x_1=4-1=3$,$y_2-y_1=0-2=-2$,$z_2-z_1=-1-3=-4$.

Bước 3: Thay vào công thức: $d_{AB}=\sqrt{3^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}.$

Kết luận: $AB=\sqrt{29}$.

3.2 Ví dụ về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm$M(2,-1,3)$và mặt phẳng$(P):2x - y + 2z - 3 = 0$. Tính khoảng cách$d$.

Bước 1: Xác định hệ số của mặt phẳng:$A=2$,$B=-1$,$C=2$,$D=-3$.

Bước 2: Tính biểu thức ở tử số:$Ax_0+By_0+Cz_0+D = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1)+2 \cdot 3 -3 =4 +1 +6 -3 =8$.

Bước 3: Tính mẫu số: $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.

Bước 4: Áp dụng công thức:

$d=\frac{|8|}{3}=\frac{8}{3}.$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu hai điểm trùng nhau thì $d=0$.

- Nếu chỉ khác một toạ độ (ví dụ:$A(1,2,3)$và $B(1,5,3)$) thì công thức vẫn áp dụng bình thường, chỉ một hiệu không bằng 0.

- Khi phương trình mặt phẳng chưa chuẩn hoá (hệ số $A,B,C$có thể chia chung ước), công thức khoảng cách vẫn đúng vì ta lấy độ dài vector pháp tuyến$\sqrt{A^2+B^2+C^2}$.

- Luôn sử dụng giá trị tuyệt đối ở tử số để đảm bảo kết quả không âm.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khoảng cách trong không gian liên quan chặt chẽ đến:

• Độ dài vector:$\|\overrightarrow{AB}\|=d_{AB}$. • Tích vô hướng: dùng để tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng.

• Phép chiếu vuông góc: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc.

• Công thức Pythagore tổng quát trong không gian ba chiều.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Dưới đây là hai bài tập mẫu để các em luyện tập.

Bài tập 1

Tính khoảng cách giữa hai điểm$A(0,0,0)$và $B(-3,4,12)$.

Giải:

Áp dụng $d_{AB}=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2+(12-0)^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13.$

Bài tập 2

Cho điểm$N(-1,2,0)$và mặt phẳng$(Q):x+2y-2z+5=0$. Tính khoảng cách từ $N$ đến$(Q)$.

Giải:

Tử số: $|(-1)+2 \cdot 2-2 \cdot 0+5|=|-1+4+5|=|8|=8.$Mẫu số:$\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=3.$Vậy$d=\frac{8}{3}.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên lấy giá trị tuyệt đối ở tử số → kết quả có thể âm.

- Bỏ sót căn bậc hai ở mẫu số → sai kết quả.

- Nhầm toạ độ $x,y,z$khi tính hiệu → công thức không đúng.

- Không kiểm tra xem điểm có nằm trên mặt phẳng hay không (trường hợp d=0).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Công thức khoảng cách hai điểm: $d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$

• Công thức khoảng cách từ điểm$M(x_0,y_0,z_0)$ đến$(P):Ax+By+Cz+D=0$:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

• Luôn dùng giá trị tuyệt đối và lấy căn bậc hai đầy đủ để kết quả không âm.

• Vận dụng thành thạo giúp giải quyết nhanh các bài toán hình học không gian.