Blog

Lớp 11

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – Lý thuyết, công thức, ví dụ và luyện tập miễn phí

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, "Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau" là một khái niệm thuộc hình học không gian, nằm trong chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian. Hiểu rõ về khoảng cách này giúp học sinh rèn luyện tư duy không gian, phục vụ làm bài thi, giải quyết các bài toán thực tế như thiết kế, kiến trúc, ứng dụng khoa học kỹ thuật.

Đây là kiến thức cơ bản nhưng rất thường gặp trong học tập và thực tiễn. Nắm vững sẽ giúp bạn giải tốt các bài tập không gian, tăng khả năng hình dung và vận dụng không gian ba chiều. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập "Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau" miễn phí với hơn 42.226 bài tập, giúp bạn tự tin chinh phục mọi dạng toán.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng (không giao nhau, không song song).

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung ngắn nhất nối hai đường thẳng đó.

- Điều kiện áp dụng: Hai đường thẳng phải chéo nhau (không cắt nhau và không song song).

  • - Tính chất: Đường vuông góc chung là đường thẳng duy nhất vuông góc với cả hai đường đã cho.

    • 2.2 Công thức và quy tắc

  • - Công thức tổng quát (dạng tọa độ):

    • Cho hai đường thẳng chéo nhauriangle1riangle_1và riangle2riangle_2trong không gian với dạng tham số:

    {a⃗=A⃗+tu⃗1b⃗=B⃗+su⃗2\left\{\begin{array}{l} \vec{a} = \vec{A} + t\vec{u}_1 \\ \vec{b} = \vec{B} + s\vec{u}_2 \\\end{array} \right.

    Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

    d=∣(AB⃗,u⃗1,u⃗2)∣∣u⃗1×u⃗2∣d = \frac{|(\vec{AB}, \vec{u}_1, \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}

  • - Ý nghĩa các ký hiệu: AB⃗\vec{AB}: vector nối một điểm thuộc đường 1 đến một điểm thuộc đường 2;u⃗1,u⃗2\vec{u}_1, \vec{u}_2: vector chỉ phương của hai đường thẳng;∣...∣|...|là giá trị tuyệt đối;×\timeslà tích vectơ.
  • - Cách ghi nhớ công thức: Mẫu số là độ dài vectơ tích có hướng hai vectơ chỉ phương, tử số là thể tích khối hộp tạo bởi ba vectơ AB⃗,u⃗1,u⃗2\vec{AB}, \vec{u}_1, \vec{u}_2.
  • - Một số biến thể: Có thể gặp các dạng cho sẵn tọa độ, dạng hình lăng trụ... Việc vận dụng công thức tùy vào từng dạng toán.

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hai đường thẳng:

    {d1:x=1+t, y=2+2t, z=3−td2:x=2+3s, y=4−s, z=−1+2s\left\{\begin{array}{l} d_1: x=1+t, \, y=2+2t, \, z=3-t \\d_2: x=2+3s, \, y=4-s, \, z= -1+2s \\\end{array} \right.

    Tính khoảng cách giữad1d_1và d2d_2.

    Các bước giải:

    Bước 1: Xác định vector chỉ phươngu⃗1=(1,2,−1)\vec{u}_1 = (1,2,-1),u⃗2=(3,−1,2)\vec{u}_2 = (3,-1,2). Chọn điểmA(1,2,3)∈d1A(1,2,3) \in d_1,B(2,4,−1)∈d2B(2,4,-1) \in d_2.

    Bước 2: TínhAB⃗=(2−1,4−2,−1−3)=(1,2,−4)\vec{AB} = (2-1, 4-2, -1-3) = (1,2,-4).

    Bước 3: Tính tích có hướng:

    u⃗1×u⃗2=∣i⃗j⃗k⃗12−13−12∣=(2⋅2−(−1)⋅(−1),−[1⋅2−(−1)⋅3],1⋅(−1)−2⋅3)=(4−1,−(2+3),−1−6)=(3,−5,−7)\vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix*} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\\end{vmatrix*} = (2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1), -[1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3], 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) = (4-1, -(2+3), -1-6) = (3,-5,-7)

    Độ dài ∣u⃗1×u⃗2∣=32+(−5)2+(−7)2=9+25+49=83|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9+25+49} = \sqrt{83}

    Bước 4: Tính tích hỗn tạp∣(AB⃗,u⃗1,u⃗2)∣| (\vec{AB}, \vec{u}_1, \vec{u}_2)|bằng công thức định thức:

    ∣12−412−13−12∣=1⋅(2⋅2−(−1)⋅(−4))−2⋅(1⋅2−(−1)⋅3)+(−4)⋅(1⋅(−1)−2⋅3)\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\\end{array} \right| = 1 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-4)) - 2 \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) + (-4) \cdot (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3)

    =1(4−4)−2(2+3)+(−4)(−1−6)=0−10+28=18= 1(4-4) - 2(2+3) + (-4)(-1-6) = 0 - 10 + 28 = 18

    Bước 5: Tính khoảng cách: d=∣18∣83d = \frac{|18|}{\sqrt{83}}

    Lưu ý: Học sinh cần cẩn thận khi tính toán tích có hướng và định thức!

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ABC.A'B'C'có đáy là tam giác đều cạnhaa,AA′=hAA' = h. Tính khoảng cách giữaAB′AB'và BC′BC'.

    Học sinh vẽ hình, chọn hệ trục tọa độ phù hợp, đưa về dạng tọa độ các điểm, xác định vectơ chỉ phương các đường, áp dụng đúng công thức để tính. Kỹ năng vẽ hình và dựng tọa độ rất cần thiết cho dạng câu hỏi này.

    Có thể giảm thời gian giải bằng cách nắm vững công thức, hình dung sự song song, vuông góc và liên hệ các đoạn thẳng đặc biệt trong hình lăng trụ.

    4. Các trường hợp đặc biệt

    - Nếu hai đường thẳng cắt nhau: khoảng cách là 0.

    - Nếu hai đường song song: Dùng công thức khoảng cách giữa một điểm và một đường thẳng.

    - Trường hợp các đường thẳng nằm trong các hình đặc biệt (hình hộp chữ nhật, lăng trụ): Có thể vận dụng các kiến thức về hình học không gian để nhận biết đường vuông góc chung.

    Chú ý: Cần xác định đúng loại quan hệ giữa hai đường thẳng trước khi áp dụng công thức!

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Hiểu sai chéo nhau với song song hoặc cắt nhau.
  • - Nhầm công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau với khoảng cách hai đường song song.
  • - Để tránh nhầm lẫn, hãy luôn kiểm tra quan hệ hai đường thẳng trước khi giải.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • - Sai sót khi tính tích có hướng hoặc định thức.
  • - Quên dấu giá trị tuyệt đối ở tử số.
  • - Không lấy độ dài vectơ tích có hướng ở mẫu số.
  • - Nên kiểm tra lại kết quả bằng cách thay vào từng bước; khi có thể nên kiểm tra lại hình học (vẽ hình, kiểm tra điều kiện chéo nhau).

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể truy cập ngay 42.226 bài tập "Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau" miễn phí. Không cần đăng ký, làm bài trực tuyến và theo dõi tiến độ học dễ dàng ngay bây giờ để củng cố kỹ năng của mình.

    Các dạng bài phong phú, tự động chấm điểm và giải thích chi tiết giúp bạn học chủ động và hiệu quả!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung.
  • - Công thức cần nhớ:d=∣(AB⃗,u⃗1,u⃗2)∣∣u⃗1×u⃗2∣d = \frac{|(\vec{AB}, \vec{u}_1, \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}
  • - Luôn kiểm tra quan hệ hai đường thẳng trước khi áp dụng.
  • - Lưu ý xác định đúng vectơ, cẩn thận khi tính tích hướng và định thức.
  • - Ghi nhớ phương pháp, luyện tập nhiều dạng bài để đạt kết quả cao.

    • Checklist ôn tập:

  • [ ] Nắm vững định nghĩa và tính chất.
  • [ ] Thuộc công thức tổng quát và các bước áp dụng.
  • [ ] Phân biệt rõ các trường hợp đặc biệt.
  • [ ] Luyện tập đầy đủ các dạng bài.

    • Hãy bắt đầu luyện tập "Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau miễn phí" và chinh phục điểm cao Toán 11 ngay hôm nay!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".