1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán hình học không gian và mặt phẳng, việc xác định khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng hoặc đến mặt phẳng là một kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng. Khái niệm này giúp các em hiểu rõ vị trí tương đối giữa điểm và lời góp phần quan trọng trong giải các bài toán hình học, vật lý và kỹ thuật. Việc nắm vững phương pháp tính khoảng cách cũng là nền tảng để giải quyết các bài toán về góc, diện tích, thể tích, cũng như phân tích không gian trong các chủ đề nâng cao.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

(i) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Giả sử điểm$P(x_0,y_0)$và đường thẳng$\ell$có phương trình$ax+by+c=0$. Khoảng cách từ $P$ đến$\ell$là độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ $P$xuống$\ell$, được tính theo công thức sau:$d(P,\ell)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

(ii) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Giả sử điểm$P(x_0,y_0,z_0)$và mặt phẳng$(\alpha)$có phương trình$Ax+By+Cz+D=0$. Khoảng cách từ $P$ đến$(\alpha)$là độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ $P$xuống mặt phẳng, tính bằng công thức:$d(P,(\alpha))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm$P(x_0,y_0)$ đến đường thẳng$\ell:ax+by+c=0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng$\ell$.

Bước 2: Thay tọa độ $x_0,y_0$của điểm$P$vào biểu thức$ax+by+c$.

Bước 3: Tính giá trị tuyệt đối$|ax_0+by_0+c|$.

Bước 4: Tính căn $\,\sqrt{a^2+b^2}$.

Bước 5: Chia kết quả của bước 3 cho kết quả của bước 4 theo công thức $d(P,\ell)=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Ví dụ 1: Cho điểm$P(3,-1)$và đường thẳng$d:2x-5y+1=0$. Tính khoảng cách từ $P$ đến$d$.

Giải: Áp dụng công thức, ta có$d(P,d)=\frac{|2 \cdot 3-5 \cdot (-1)+1|}{\sqrt{2^2+(-5)^2}}=\frac{|6+5+1|}{\sqrt{4+25}}=\frac{12}{\sqrt{29}}.$

3.2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ điểm$P(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng$(\alpha):Ax+By+Cz+D=0$, các bước thực hiện tương tự:

Bước 1: Xác định hệ số $A,B,C,D$trong phương trình mặt phẳng.

Bước 2: Thay tọa độ của$P$vào$Ax+By+Cz+D$và tính giá trị tuyệt đối.

Bước 3: Tính căn của tổng bình phương các hệ số $A^2+B^2+C^2$.

Bước 4: Chia giá trị ở bước 2 cho kết quả ở bước 3 theo $d(P,(\alpha))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Ví dụ 2: Cho điểm$P(1,2,3)$và mặt phẳng$\alpha:3x-2y+6z-4=0$. Tính khoảng cách từ $P$ đến$\alpha$.

Giải: Áp dụng công thức, ta có$d(P,\alpha)=\frac{|3 \cdot 1-2 \cdot 2+6 \cdot 3-4|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+6^2}}=\frac{|3-4+18-4|}{\sqrt{9+4+36}}=\frac{13}{\sqrt{49}}=\frac{13}{7}=\,1,857.$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Đường thẳng hoặc mặt phẳng phải được viết dưới dạng tổng quát$ax+by+c=0$hoặc$Ax+By+Cz+D=0$. Nếu dạng khác cần biến đổi về dạng này. - Nếu hệ số $a,b,c$hoặc$A,B,C,D$cùng nhân với một số khác 0 thì không ảnh hưởng tới kết quả vì giá trị tuyệt đối và tỉ lệ không đổi. - Khoảng cách luôn không âm; nếu kết quả âm do sai dấu trong tính toán, hãy kiểm tra lại bước tính giá trị tuyệt đối.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phép chiếu vuông góc: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (hoặc mặt phẳng) thực chất là độ dài của hình chiếu orthogonal của điểm lên đường thẳng (hoặc mặt phẳng). - Tích vô hướng: Công thức khoảng cách xuất phát từ định nghĩa tích vô hướng và hệ thức giữa tích vô hướng và góc vuông.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho điểm$A(-2,4)$và đường thẳng$d:5x+3y-15=0$. Tính khoảng cách$d(A,d)$.

Lời giải: Áp dụng $d(A,d)=\frac{|5 \cdot (-2)+3 \cdot 4-15|}{\sqrt{5^2+3^2}}=\frac{|-10+12-15|}{\sqrt{34}}=\frac{13}{\sqrt{34}}.$

Bài tập 2: Cho điểm$B(2,0,-1)$và mặt phẳng$\beta:4x-4y+z+2=0$. Tính khoảng cách từ $B$ đến$\beta$.

Lời giải: Áp dụng $d(B,\beta)=\frac{|4 \cdot 2-4 \cdot 0+1 \cdot (-1)+2|}{\sqrt{4^2+(-4)^2+1^2}}=\frac{|8-0-1+2|}{\sqrt{16+16+1}}=\frac{9}{\sqrt{33}}.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa dạng tổng quát và dạng tham số của đường thẳng. Luôn đưa về $ax+by+c=0$.

- Quên tính giá trị tuyệt đối dẫn đến kết quả âm. Luôn kiểm tra dấu trước khi chia.

- Sai sót khi tính căn của tổng bình phương. Kiểm tra lại từng bước tính $\sqrt{a^2+b^2}$hoặc$\sqrt{A^2+B^2+C^2}$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng được tính theo công thức liên quan đến giá trị tuyệt đối và căn bình phương.

- Luôn đưa phương trình về dạng tổng quát và thay đúng tọa độ điểm.

- Áp dụng chính xác công thức giúp giải nhanh các bài toán hình học và nâng cao khả năng hình dung không gian.