1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 11, "khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng" là một nội dung quan trọng trong chuyên đề hình học không gian. Nó không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy hình học mà còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn như: đo khoảng cách ngắn nhất từ một vật thể đến mặt phẳng, thiết kế kỹ thuật, xây dựng,… Việc nắm vững khái niệm này sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả hơn các bài toán không gian và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi THPT cũng như các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Định nghĩa chính xác về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng

• Khoảng cách từ điểm$M$ đến đường thẳng$d$là độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ $M$ đến$d$.

• Khoảng cách từ điểm$M$ đến mặt phẳng$(P)$là độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ $M$ đến mặt phẳng$(P)$.

Nói cách khác, khoảng cách giữa điểm và một đường thẳng hoặc mặt phẳng chính là đoạn ngắn nhất nối từ điểm đó tới đường/thẳng mặt phẳng tương ứng.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian (Oxyz)

Giả sử điểm$M(x_0, y_0, z_0)$và đường thẳng$d$có phương trình tham số:

Cách tính khoảng cách:
1. Xác định véc-tơ chỉ phương của$d$:$\vec{u} = (a, b, c)$
2. Xác định véc-tơ $\vec{MN}$nối từ $M$ đến một điểm$N(x_1, y_1, z_1)$thuộc$d$:$\vec{MN} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)$
3. Dùng công thức:
$d(M, d) = \frac{\lVert \vec{u} \times \vec{MN} \rVert}{\lVert \vec{u} \rVert}$

Trong đó:
-$\vec{u} \times \vec{MN}$là tích có hướng (tích vector) của hai vector
-$\lVert \cdot \rVert$là độ dài vector

Ví dụ:
Cho điểm $M(1; 2; 3)$và đường thẳng

Vậy khoảng cách:
$d(M, d) = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{6}}$

b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Oxyz)

Giả sử điểm $M(x_0, y_0, z_0)$và mặt phẳng$(P): Ax + By + Cz + D = 0$
Công thức tính khoảng cách:
$d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ví dụ:
Cho điểm$M(1;2;3)$và mặt phẳng$(P): 2x - y + 2z - 5 = 0$
-$A = 2, B = -1, C = 2, D = -5$

Áp dụng công thức:
$d(M, (P)) = \frac{|2<em>1 - 1</em>2 + 2*3 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}<br />= \frac{|2 - 2 + 6 - 5|}{\sqrt{4+1+4}}<br />= \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu điểm nằm trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng) thì khoảng cách bằng$0$
- Khi tính khoảng cách ở không gian, cần xác định đúng tọa độ các điểm và các vector
- Cần phân biệt rõ giữa khoảng cách ngắn nhất (chính là đoạn vuông góc) và khoảng cách qua một điểm bất kỳ

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng liên quan chặt chẽ đến các kiến thức về:
- Vector (phép cộng, trừ, tích vô hướng, tích có hướng)
- Mặt phẳng, đường thẳng trong không gian (phương trình, vector pháp tuyến, chỉ phương)
- Quan hệ vuông góc trong không gian (hình học không gian)
- Toán ứng dụng (tính khoảng cách tối ưu trong thực tế, thiết kế, xây dựng…)

6. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính khoảng cách từ điểm$A(2; 1; 2)$ đến đường thẳng

• $\vec{u} = (1, 1, 2)$
• $N(1, -1, 0) \in d$, $\vec{AN} = (2-1, 1-(-1), 2-0) = (1, 2, 2)$
•

Bài tập 2: Tính khoảng cách từ điểm $M(0; 2; -1)$ đến mặt phẳng$\left(P\right): 2x - y + 2z + 2 = 0$
$d(M, (P)) = \frac{|2<em>0 - 1</em>2 + 2*(-1) + 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-2 - 2 + 2|}{3} = \frac{2}{3}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng khi áp dụng công thức
- Sử dụng sai vector chỉ phương hoặc vector pháp tuyến
- Chọn sai điểm thuộc đường thẳng hoặc sai mặt phẳng
- Không lấy giá trị tuyệt đối ở tử số với bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng/mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đó tới đường thẳng/mặt phẳng
- Học thuộc công thức tính khoảng cách:
• Đến đường thẳng: $d(M, d) = \frac{\lVert \vec{u} \times \vec{MN} \rVert}{\lVert \vec{u} \rVert}$
• Đến mặt phẳng: $d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
- Xác định chính xác tọa độ, vector và áp dụng đúng công thức
- Không quên kiểm tra điều kiện đặc biệt (điểm nằm trên đường hoặc mặt phẳng)
- Vận dụng kiến thức về hình học không gian, vector để giải quyết các bài toán liên quan