1. Giới thiệu về kiểm tra dãy số là cấp số nhân

Trong chương trình Toán lớp 11, "kiểm tra dãy số là cấp số nhân" là một nội dung quan trọng thuộc chương Dãy số, giúp học sinh nhận biết, phân tích các dạng bài dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán thực tế lẫn nâng cao. Việc hiểu và xác định đúng một dãy số là cấp số nhân (CSN) là cơ sở để tiếp tục học các dạng bài nâng cao về dãy số, tính tổng, tìm số hạng hay giải bài toán ứng dụng thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác – Khi nào một dãy số là cấp số nhân?

Dãy số $\{u_n\}$ được gọi là cấp số nhân nếu từ số hạng thứ hai trở đi, tỉ số giữa mỗi số hạng và số hạng đứng trước nó luôn không đổi. Giá trị không đổi này được gọi là công bội$q$của cấp số nhân. Cụ thể, với mọi$n \geq 2$:

Điều kiện:

$\frac{u_n}{u_{n-1}} = q \ (\forall n \geq 2), \quad u_{n} \neq 0\ (\forall n)$

Trong đó $q$gọi là công bội. Dãy$\{u_n\}$cũng có thể được biểu diễn như sau:

$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

3. Các bước kiểm tra một dãy số có phải là cấp số nhân hay không

Để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân không, bạn làm theo các bước sau:

• Bước 1: Xác định các số hạng đầu tiên của dãy số.
• Bước 2: Tính tỉ số $\frac{u_2}{u_1}$,$\frac{u_3}{u_2}$,$\frac{u_4}{u_3}$,...
• Bước 3: So sánh các tỉ số vừa tìm được. Nếu tất cả đều bằng nhau (và các số hạng đều khác 0), dãy là cấp số nhân, giá trị chung này chính là công bội$q$.
• Bước 4: Nếu ít nhất một cặp tỉ số khác nhau hoặc có số hạng bằng 0 (trừ trường hợp đặc biệt), dãy không phải là cấp số nhân.

4. Ví dụ minh họa kiểm tra dãy số là cấp số nhân

Ví dụ 1: Cho dãy số $2$,$6$,$18$,$54$,$162$. Hỏi dãy số này có phải là cấp số nhân không?

Ví dụ 2: Cho dãy:$1$,$2$,$4$,$8$,$16$,$33$. Dãy này có phải là cấp số nhân không?

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi kiểm tra cấp số nhân

• Nếu tất cả các số hạng$u_n = 0$, dãy này được xem là cấp số nhân với bất kỳ $q$(nhưng thường không xét trong chương trình phổ thông vì dễ gây nhầm lẫn).
• Nếu có $2$số hạng liên tiếp$u_{n-1}=0$,$u_n \neq 0$hoặc ngược lại thì KHÔNG phải là cấp số nhân (do không xác định được$\frac{u_n}{u_{n-1}}$khi mẫu bằng 0).
• Nếu công bội$q=1$, mọi số hạng đều bằng nhau – đó cũng là một cấp số nhân đặc biệt.
• Nếu$q=-1$, dãy số có dạng xen kẽ, ví dụ:$5, -5, 5, -5,...$

6. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Cấp số cộng (CSC): Khác với CSN ở chỗ thay vì tỉ số, CSC dựa trên hiệu số $u_n - u_{n-1}$luôn không đổi.
- Hàm số mũ: CSN trực tiếp liên hệ với hàm số mũ do công thức$u_n = u_1 q^{n-1}$giống hàm$y=a b^x$trong đó $a=u_1, b=q$.
- Các bài toán thực tế: Dãy CSN xuất hiện trong bài toán tăng trưởng dân số, lãi kép ngân hàng, phân rã phóng xạ,...

7. Bài tập mẫu và hướng dẫn giải

Bài tập 1: Cho dãy$1, -2, 4, -8, 16, -32$. Dãy này là cấp số nhân không? Nếu có, xác định công bội$q$.

Bài tập 2: Cho dãy$7, 7, 7, 7, 7, 7$. Dãy trên có phải là cấp số nhân không?

Bài tập 3: Cho dãy$1, 2, 6, 24, 120$. Dãy trên có là cấp số nhân không?

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi kiểm tra dãy cấp số nhân

• Nhầm công bội với hiệu số: Học sinh dễ nhầm với cấp số cộng, hãy chú ý dùng phép chia chứ không phải phép trừ.
• Không kiểm tra đủ các cặp số hạng: Phải kiểm tra tất cả tỉ số giữa các số hạng liên tiếp, không chỉ hai số đầu tiên.
• Để số hạng bằng$0$làm mẫu khi tính tỉ số (ngoại lệ không xác định).
• Quên trường hợp$q=1$(mọi số hạng đều bằng nhau) và $q=-1$(dãy xen kẽ dấu)

9. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

• Dãy số là cấp số nhân nếu tỉ số giữa các số hạng liên tiếp luôn không đổi ($u_n/u_{n-1} = q$).
• Luôn kiểm tra tất cả tỉ số – không kiểm tra thiếu.
• Nhớ các trường hợp đặc biệt:$q=1$,$q=-1$, mọi số hạng bằng$0$.
• Không nhầm lẫn với cấp số cộng (tìm hiệu số, không phải tỉ số).