Kiểm tra dãy số là cấp số nhân: Kiến thức cơ bản, ví dụ, lỗi thường gặp và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 11, "Kiểm tra dãy số là cấp số nhân" là một trong những kỹ năng trọng tâm thuộc chủ đề dãy số. Việc xác định một dãy số có phải là cấp số nhân (CSN) hay không giúp học sinh hiểu rõ bản chất các chuỗi số có tính quy luật, phục vụ cho các bài toán phát triển về sau như tổng dãy, tìm số hạng và ứng dụng thực tế.

Hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp bạn:

• Nắm vững nền tảng để giải các bài toán liên quan đến cấp số nhân.
• Phân biệt dễ dàng cấp số nhân với các dãy số khác.
• Thấy rõ ứng dụng cấp số nhân trong tính lãi suất ngân hàng, tăng trưởng dân số, vật lý…
• Tham gia luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập kiểm tra dãy số là cấp số nhân trên nền tảng chuyên luyện thi online.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Dãy số $(u_n)$được gọi là cấp số nhân nếu tồn tại số$q$(gọi là công bội) khác$0$, sao cho với mọi$n \ge 1:$

$u_{n+1} = q \cdot u_n$

- Tính chất: Mỗi số hạng (trừ số đầu tiên) đều bằng số hạng trước nhân với$q$.

- Điều kiện để là cấp số nhân: Tìm được cùng một tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$không đổi với mọi$n\ge 1$.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức kiểm tra:$q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$với mọi$n\ge 1$.
• Công thức số hạng tổng quát:$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
• Ghi nhớ: Tất cả các tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$phải bằng nhau và khác$0$.

- Cách ghi nhớ: So sánh liên tiếp hai số hạng, tỉ số phải không thay đổi.

- Biến thể công thức: Đôi lúc dãy được cho dưới dạng công thức hàm số; hãy đưa về dạng$u_n$rồi kiểm tra tỉ số.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho dãy số $1; 2; 4; 8; 16; \ldots$. Kiểm tra xem dãy số trên có phải là cấp số nhân không?

1. Tính tỉ số:$\dfrac{2}{1} = 2$;$\dfrac{4}{2} = 2$;$\dfrac{8}{4} = 2$.
2. Tỉ số liên tiếp luôn là $2$, tức$q=2$, không đổi.
3. Vậy đây là dãy cấp số nhân với công bội$q = 2$.

- Lưu ý: Luôn kiểm tra nhiều cặp số liên tiếp để chắc chắn tỉ số không đổi.

3.2 Ví dụ nâng cao

Xét dãy$u_n = 3^n + 1$. Dãy này có phải là cấp số nhân không?

1. Tính tỉ số:$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3^{n+1}+1}{3^n+1}$.
2. Rút gọn:$\dfrac{3 \cdot 3^n+1}{3^n+1} = \dfrac{3(3^n)+1}{3^n+1}$.
3. Dễ thấy tỉ số này không không đổi với mọi$n$.
4. Kết luận: Dãy$u_n$không là cấp số nhân.

- Kỹ thuật giải nhanh: Nếu nghi ngờ, kiểm tra 3 số hạng đầu tiên. Nếu tỉ số không bằng nhau, chắc chắn không phải là cấp số nhân.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Các số hạng bằng$0$(không sử dụng được công thức tỉ số, loại trừ ngay khỏi cấp số nhân giả thiết công bội khác 0).
• Dãy số có số hạng âm và dương: Cho phép, miễn là tỉ số giữa hai số liên tiếp cố định.
• Dãy giảm (công bội$0 < |q| < 1$hoặc$q<0$): Vẫn là cấp số nhân nếu tỉ số không đổi.
• Liên hệ với cấp số cộng: Nếu khác biệt giữa các số hạng là không đổi, đó là cấp số cộng chứ không phải cấp số nhân.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa cấp số cộng và cấp số nhân. Hãy nhớ cấp số nhân là tỉ số, còn cấp số cộng là hiệu số.
• Hiểu sai điều kiện: Công bội$q$phải KHÁC$0$. Nếu có số hạng bằng$0$, loại trừ ngay.

5.2 Lỗi về tính toán

• Sai khi tính tỉ số, đặc biệt là với phân số hoặc số âm.
• Không kiểm tra hết các cặp số liên tiếp.
• Cách kiểm tra: Tính ít nhất ba tỉ số liên tiếp để chắc chắn.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập ngay kho tàng hơn 42.226+ bài tập Kiểm tra dãy số là cấp số nhân miễn phí.
• Không cần đăng ký, luyện tập và nhận đáp án tức thì.
• Theo dõi tiến độ học tập, cải thiện kỹ năng mỗi ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Kiểm tra dãy số là cấp số nhân bằng cách tính tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$cho mọi$n$, nếu không đổi và khác$0$thì là cấp số nhân.
• Phân biệt rõ với cấp số cộng (so sánh hiệu số thay vì tỉ số).
• Ôn tập thường xuyên và luyện tập nhiều dạng bài để tránh lỗi cơ bản.

- Checklist ôn tập: Nắm vững định nghĩa, công thức, nhận diện trường hợp đặc biệt, phân biệt với cấp số cộng, luyện giải bài tập kiểm tra dãy số là cấp số nhân miễn phí hàng ngày.