Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu: Tại sao cần kiểm tra tính đơn điệu của dãy số?

Trong chương trình toán học lớp 11, dãy số là một khái niệm quan trọng, làm nền tảng để học các bài toán nâng cao hơn về giới hạn, hàm số, chuỗi số,... Một trong những dạng toán hay gặp nhất là "kiểm tra tính đơn điệu của dãy" (hay còn gọi là kiểm tra xem dãy có tăng, giảm, hay không đổi, hoặc không đơn điệu). Việc hiểu rõ tính đơn điệu giúp bạn nhanh chóng nhận biết đặc điểm của dãy, dự đoán xu hướng, giải quyết các bài toán quy nạp hay tìm giới hạn của dãy.

2. Định nghĩa chính xác về tính đơn điệu của dãy số

Cho dãy số $(u_n)$, tính đơn điệu được định nghĩa như sau:

- Ngoài ra, ta còn phân biệt giữa đơn điệu "nghiêm ngặt" ($u_{n+1} > u_n$hoặc$u_{n+1} < u_n$) và không nghiêm ngặt ($u_{n+1} \geq u_n$hoặc$u_{n+1} \leq u_n$).

3. Cách kiểm tra tính đơn điệu của dãy – Hướng dẫn từng bước

Để kiểm tra dãy$(u_n)$có đơn điệu tăng hoặc giảm hay không, các bước thường làm như sau:

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Cho dãy số $u_n = 2n + 1$. Kiểm tra tính đơn điệu của dãy này.

Ta tính:

$u u_{n+1} - u_n = [2(n+1) + 1] - [2n +1] = 2$

Vì $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$với mọi$n$, nên dãy$(u_n)$luôn tăng.

Ví dụ 2: Dãy số $u_n = \frac{1}{n}$,$n \geq 1$. Dãy này có giảm không?

Ta có:

$u u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0, \forall n \geq 1$

Do đó, dãy$(u_n)$là dãy giảm.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho dãy số $u_n = n^2 + n + 1$. Kiểm tra tính đơn điệu.

Lời giải:

$u u_{n+1} - u_n = [(n+1)^2 + (n+1) + 1] - [n^2 + n + 1] = (n^2 + 2n + 1) + n + 1 + 1 - n^2 - n - 1 = 2n + 2$

Ta có $u_{n+1} - u_n = 2n + 2 > 0$với mọi$n \geq 0$, do đó $u_n$là dãy tăng.

Bài 2: Cho dãy$v_n = \frac{2^n}{n!}$,$n \geq 1$. Ta xét dãy này tăng hay giảm?

$u \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}: \frac{2^n}{n!} = \frac{2 \cdot 2^n}{(n+1) n!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}$

Với$n \geq 2$thì $\frac{2}{n+1} < 1$, tức là $v_{n+1} < v_n$nên dãy giảm từ $n \geq 2$trở đi.

8. Lỗi thường gặp và cách tránh

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ