Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy là một nội dung quan trọng trong chương II của chương trình Toán lớp 11, thuộc chủ đề Dãy số. Đây là kỹ năng giúp bạn xác định xem một dãy số có xu hướng tăng lên, giảm xuống hay không thay đổi theo chỉ số n, từ đó hỗ trợ rất lớn cho việc nghiên cứu giới hạn dãy và các ứng dụng thực tế trong kinh tế, kỹ thuật, khoa học… Việc thành thạo khái niệm này không chỉ giúp bạn học tốt môn Toán, mà còn phát triển khả năng tư duy logic. Đặc biệt, luyện tập kỹ năng này giúp bạn giải quyết tốt các bài toán thực tiễn liên quan đến chuỗi lợi nhuận, dân số, nhiệt độ trung bình qua các năm, v.v. Hãy bắt đầu luyện tập với hơn 42.226+ bài tập kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Một dãy số $(u_n)$gọi là tăng (đơn điệu tăng) khi$u_{n+1} > u_n$với mọi$n$thuộc tập số tự nhiên. Nếu$u_{n+1} \geq u_n$thì dãy gọi là không giảm.
• Dãy số $(u_n)$giảm (đơn điệu giảm) khi$u_{n+1} < u_n$với mọi$n$. Nếu$u_{n+1} \leq u_n$, dãy gọi là không tăng.
• Các định lý quan trọng: Dãy số số học$u_n = u_1 + (n-1)d$tăng nếu$d > 0$; giảm nếu$d < 0$. Dãy số hình học$u_n = u_1 q^{n-1}$tăng nếu$q > 1$, giảm nếu$0 < q < 1$.
• Điều kiện áp dụng: Chỉ kiểm tra được tính đơn điệu với dãy số xác định trên tập các số tự nhiên.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức kiểm tra: Tính$u_{n+1} - u_n$. Nếu$u_{n+1} - u_n > 0$với mọi$n$thì dãy tăng;$< 0$thì dãy giảm.
• Ngoài ra, ở một số bài toán, so sánh$\frac{u_{n+1}}{u_n}$cũng có thể giúp kiểm tra tính đơn điệu cho dãy số dương.
• Cách ghi nhớ: Hãy nhớ rằng tăng nghĩa là số sau lớn hơn số trước, giảm thì ngược lại.
• Biến thể: Có thể gặp trường hợp dãy không tăng, hoặc không giảm.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho dãy$u_n = 2n + 1$với$n \geq 1$. Kiểm tra tính đơn điệu của dãy này.

Giải chi tiết:

$u_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 3$

$u_{n+1} - u_n = (2n + 3) - (2n + 1) = 2 > 0$với mọi$n$.

Vậy dãy$u_n = 2n+1$là dãy số đơn điệu tăng.

Lưu ý: Kết quả trên chứng minh dãy luôn tăng vì hiệu luôn dương.

$u_n = 2n + 1$ với $n$ từ 1 đến 10, minh họa sự đơn điệu tăng đều của dãy với sai khác giữa hai số hạng liên tiếp là $\Delta u = 2$ ." title="Hình minh họa: Đồ thị điểm thể hiện các giá trị của dãy số $u_n = 2n + 1$ với $n$ từ 1 đến 10, minh họa sự đơn điệu tăng đều của dãy với sai khác giữa hai số hạng liên tiếp là $\Delta u = 2$ ." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho dãy$u_n = \frac{1}{n}$với$n \geq 1$. Kiểm tra tính đơn điệu của dãy.

Ta có:$u_{n+1} = \frac{1}{n+1}$

$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$với$n \geq 1$.

Vậy$u_n = \frac{1}{n}$là dãy số đơn điệu giảm.

Kỹ thuật nhanh: Với dãy dương dùng tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Nếu$< 1$thì dãy giảm.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$u_{n+1} = u_n$với mọi$n$(dãy hằng), dãy vừa là dãy tăng vừa là dãy giảm (hay còn gọi là dãy không đổi).
• Cần chú ý với các dãy thay đổi dấu, không thể khẳng định là tăng hay giảm.

Mối liên hệ: Kiểm tra tính đơn điệu còn liên quan đến lý thuyết giới hạn dãy và dãy bị chặn.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai định nghĩa: Một dãy có thể không là tăng hay giảm nếu hiệu thay đổi dấu.
• Nhầm với tăng/giảm tuyệt đối: Chỉ cần$u_{n+1} > u_n$chứ không cần$u_{n+1}>0$.

5.2 Lỗi về tính toán

• Sơ suất khi tính$u_{n+1}$: Đặc biệt khi dãy phức tạp hoặc chứa căn, phân số.
• Lỗi tính toán dấu: Luôn kiểm tra kỹ kết quả $u_{n+1} - u_n$.

Phương pháp kiểm tra: Có thể thử với vài giá trị đầu nhỏ trước khi khẳng định tổng quát.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập kho hơn 42.226+ bài tập kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí.
• Không cần đăng ký, luyện tập ngay lập tức.
• Theo dõi tiến độ học tập, hệ thống gợi ý và cải thiện kỹ năng từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hãy ghi nhớ:$u_{n+1} - u_n > 0$(tăng);$< 0$(giảm). So sánh$\frac{u_{n+1}}{u_n}$nếu dãy dương.
• Checklist trước khi làm bài: Xác định rõ $u_n$. Tính đúng$u_{n+1}$. Tìm hiệu hoặc tỉ số. Xét dấu hoặc so sánh. Kết luận đúng.
• Kế hoạch ôn tập: Luyện nhiều dạng cơ bản và nâng cao, tự giải thích lại lý thuyết bằng lời của mình.