Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy – Hướng dẫn đầy đủ cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, "Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy" là một chủ đề quan trọng trong chuyên đề dãy số. Đây là kỹ năng nền tảng giúp bạn xác định sự thay đổi của các số hạng trong dãy, có ý nghĩa lớn trong các bài toán tìm giới hạn, giải phương trình, bất phương trình cũng như ứng dụng thực tiễn như dự báo xu hướng, xử lý dữ liệu thời gian. Hiểu rõ tính đơn điệu sẽ giúp bạn vững vàng khi học lên cao và giải quyết tốt các bài toán thực tế. Ngoài kiến thức lý thuyết, bạn có thể luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí ngay trên nền tảng của chúng tôi.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa:Một dãy số $(u_n)$ được gọi là đơn điệu tăng nếu$u_{n+1} \geq u_n$với mọi$n$, đơn điệu giảm nếu$u_{n+1} \leq u_n$với mọi$n$. Nếu$u_{n+1} > u_n$(hoặc$u_{n+1} < u_n$) thì gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt.

- Tính chất quan trọng: Nếu một dãy số là đơn điệu (tăng hoặc giảm) và bị chặn thì dãy đó hội tụ.

- Điều kiện áp dụng:Dãy số phải xác định với mọi$n \geq n_0$nào đó.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức kiểm tra tính đơn điệu: Tính hiệu$u_{n+1} - u_n$:

+ Nếu$u_{n+1} - u_n \geq 0$với mọi$n$, dãy tăng (nếu$>0$thì tăng nghiêm ngặt).

+ Nếu$u_{n+1} - u_n \leq 0$với mọi$n$, dãy giảm (nếu$<0$thì giảm nghiêm ngặt).

- Lưu ý: Công thức này áp dụng tốt cho các dãy có biểu thức tường minh. Nếu dãy cho bằng truy hồi, thử kiểm tra$u_{n+1} - u_n$hoặc quy nạp toán học.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Xét dãy$u_n = 2n + 3$. Hỏi dãy này có tăng không?

• Tính hiệu$u_{n+1} - u_n = [2(n+1) + 3] - [2n+3] = 2$

• Vì $2 > 0$với mọi$n$, nên dãy luôn tăng nghiêm ngặt.

• Lưu ý: Khi tính hiệu, luôn rút gọn kỹ càng và kiểm tra dấu hiệu với mọi$n$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho dãy$u_1 = 1, u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$với$n \geq 1$. Dãy này tăng hay giảm?

• Ta tính:$u_{n+1} - u_n = \left(\frac{1}{2}u_n + 1\right) - u_n = -\frac{1}{2}u_n + 1$

• Dấu hiệu phụ thuộc vào giá trị $u_n$: Nếu$u_n < 2$,$u_{n+1} - u_n > 0$(tăng); nếu$u_n > 2$,$u_{n+1} - u_n < 0$(giảm). Dễ thấy dãy tiến dần tới 2 và tăng đến 2 rồi giảm khi vượt 2 – cần kiểm tra kỹ từng trường hợp.

• Trong trường hợp này, dãy đơn điệu tăng đến$u_n = 2$, sau đó là dãy hằng ($u_n = 2$).

4. Các trường hợp đặc biệt

- Dãy hằng:$u_n = c$thì luôn vừa tăng vừa giảm (gọi là đơn điệu).

- Nếu dãy không thỏa mãn bất đẳng thức ở mọi$n$, cần xét từng đoạn hoặc kiểm tra lại công thức.

- Liên hệ: Kiểm tra tính đơn điệu thường kết hợp với tính bị chặn để kết luận dãy hội tụ.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Dễ nhầm dãy "vừa tăng vừa giảm" với "dãy không đơn điệu". Dãy hằng mới thuộc trường hợp này.

- Nhớ: Không phải cứ $u_{n+1} - u_n > 0$với một$n$là đủ, phải đúng với mọi$n$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Khi quên kiểm tra điều kiện$n \geq n_0$, dễ kết luận sai bản chất.

- Hãy luôn rút gọn và kiểm tra dấu hiệu kỹ càng, đặc biệt với dãy chứa phân thức hoặc căn thức.

- Để tránh lỗi, có thể kiểm tra một số giá trị mẫu trước khi kết luận tổng quát.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập hàng trăm bài tập Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí tại nền tảng của chúng tôi. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập, kiểm tra tiến độ và cải thiện kỹ năng học Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí bất cứ lúc nào!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nắm rõ định nghĩa và công thức kiểm tra:$u_{n+1} - u_n$
• Kiểm tra dấu hiệu với mọi$n$, không chỉ một vài giá trị cụ thể
• Liên hệ tính đơn điệu với tính bị chặn để xét tính hội tụ của dãy
• Tập luyện giải bài tập Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí để làm quen nhiều dạng bài
• Soạn sẵn bảng checklist các bước: Xác định biểu thức, tính$u_{n+1} - u_n$, rút gọn và xác định dấu hiệu, kết luận dãy tăng/giảm.

Chúc các bạn học tốt và làm chủ chuyên đề kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy trong Toán lớp 11!