Giải thích chi tiết về Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, việc kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy số là một chủ đề trọng tâm và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra cũng như đề thi. Đây là khái niệm nền tảng giúp học sinh hiểu rõ hơn về bản chất và quy luật phát triển của các dãy số.

Hiểu rõ về tính đơn điệu giúp bạn dễ dàng xử lý các bài toán liên quan đến giới hạn, chặt chẽ hơn trong việc chứng minh một số dãy số có giới hạn hay không. Trong thực tế, kiểm tra sự tăng lên hay giảm xuống của một chuỗi số liệu cũng ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, tài chính, khoa học tự nhiên hay cả lĩnh vực CNTT.

Bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với 48.614+ bài tập Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí ngay sau bài viết này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

### 2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa dãy tăng (đơn điệu tăng): Dãy$(u_n)$gọi là tăng nếu$u_{n+1} gte u_n$với mọi$n$.
• Dãy giảm (đơn điệu giảm): Dãy$(u_n)$gọi là giảm nếu$u_{n+1} lte u_n$với mọi$n$.
• Dãy tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt): thay “$gte$” bằng “$>$” hoặc “$lte$” bằng “$<$”.
• Dãy không đổi:$(u_n)$gọi là không đổi nếu$u_{n+1} = u_n$với mọi$n$.
• Chú ý: Tính đơn điệu được xác định cho mọi$n$natural (tức số tự nhiên).

- Định lý: Nếu$u_{n+1} - u_n$luôn không âm (hoặc không dương) thì dãy tăng (hoặc giảm).
- Điều kiện áp dụng: Phải kiểm tra cho mọi$n$chỉ số có trong miền xác định của$n$.

### 2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức kiểm tra: Tính$u_{n+1} - u_n$hoặc$\frac{u_{n+1}}{u_n}$(với$u_n \neq 0$).
• Nếu$u_{n+1} - u_n \geq 0$với mọi$n$thì dãy tăng; Nếu$u_{n+1} - u_n \leq 0$thì dãy giảm.
• Nếu$\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$với mọi$n$thì dãy không giảm; nếu$\leq 1$thì dãy không tăng.
• Cách ghi nhớ: Ghi nhớ khái niệm chính thông qua so sánh$u_{n+1}$và $u_n$.

- Chỉ sử dụng công thức$\frac{u_{n+1}}{u_n}$khi tất cả các$u_n$ đều dương hoặc đều âm.
- Các biến thể: Có thể biến đổi dãy về dạng thuận lợi để kiểm tra đơn điệu.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

#### 3.1 Ví dụ cơ bản

Cho dãy$u_n = 2n + 1$. Kiểm tra xem dãy này có phải là dãy tăng không?

Lời giải từng bước:
1. Tính$u_{n+1}$:$u_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2n + 3$
2. Tính$u_{n+1} - u_n = (2n + 3) - (2n + 1) = 2$
3. Do$2 > 0$, nên với mọi$n$,$u_{n+1} > u_n$.
4. Kết luận: Dãy số $(u_n)$là dãy tăng nghiêm ngặt.

$u_n = 2n + 1$ với n từ 1 đến 10 và mũi tên thể hiện sự gia tăng từng bước ( $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$ ), chứng minh dãy tăng." title="Hình minh họa: Đồ thị minh họa các phần tử của dãy $u_n = 2n + 1$ với n từ 1 đến 10 và mũi tên thể hiện sự gia tăng từng bước ( $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$ ), chứng minh dãy tăng." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$(u_n)$ với công thức $u_n = 2n + 1$ , minh họa các điểm rời rạc theo giá trị $n$ và mũi tên biểu diễn hiệu số không đổi $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$ , chứng tỏ dãy số tăng nghiêm ngặt." title="Hình minh họa: Đồ thị dãy số $(u_n)$ với công thức $u_n = 2n + 1$ , minh họa các điểm rời rạc theo giá trị $n$ và mũi tên biểu diễn hiệu số không đổi $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$ , chứng tỏ dãy số tăng nghiêm ngặt." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Lưu ý: Đừng quên tính tổng quát cho$n$, không chỉ kiểm tra vài giá trị nhỏ.

#### 3.2 Ví dụ nâng cao

Cho dãy$u_n = \frac{n}{n+1}$. Hãy kiểm tra dãy$(u_n)$có tăng hoặc giảm không.

u_n = \frac{n}{n+1} cho $n=1\dots10$ cùng mũi tên minh họa xu hướng tăng và biểu đồ cột hiển thị hiệu số $u_{n+1}-u_n$ dương cho mọi $n$ , chứng tỏ dãy $(u_n)$ tăng tiến dần về" title="Hình minh họa: Đồ thị rời rạc của dãy u_n = \frac{n}{n+1} cho $n=1\dots10$ cùng mũi tên minh họa xu hướng tăng và biểu đồ cột hiển thị hiệu số $u_{n+1}-u_n$ dương cho mọi $n$ , chứng tỏ dãy $(u_n)$ tăng tiến dần về" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Giải:
- Tính$u_{n+1}$:$u_{n+1} = \frac{n+1}{n+2}$
- Tính$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}$

Quy đồng mẫu số:
$u_{n+1} - u_n = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)}= \frac{1}{(n+2)(n+1)}$

Vì $(n+2)(n+1) > 0$nên$u_{n+1} - u_n > 0$với mọi$n \geq 1$.
Kết luận: Dãy$(u_n)$là dãy tăng nghiêm ngặt.

u_n=\frac{n}{n+1} và biểu đồ cột thể hiện hiệu u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+2)(n+1)} dương cho $n$ từ 1 đến 10, minh họa dãy tăng nghiêm ngặt" title="Hình minh họa: Đồ thị các giá trị của dãy u_n=\frac{n}{n+1} và biểu đồ cột thể hiện hiệu u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+2)(n+1)} dương cho $n$ từ 1 đến 10, minh họa dãy tăng nghiêm ngặt" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Kỹ thuật giải nhanh: Biết cách quy đồng mẫu để so sánh hai phân thức rõ ràng hơn.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Dãy có các giá trị lặp lại liên tục (không đổi):$u_n = 3$với mọi$n$.
• Dãy đảo chiều: Có thể tăng rồi giảm hoặc ngược lại, kiểm tra đoạn xác định của$n$.
• Dãy chứa các giá trị không xác định (chia cho 0): Phải loại trừ hoặc xét riêng.

Liên hệ với kiến thức giới hạn: Dãy tăng mà bị chặn trên sẽ có giới hạn hữu hạn (định lý cơ bản về giới hạn dãy đơn điệu).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

#### 5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu nhầm giữa dãy tăng và dãy dương (dãy tăng là $u_{n+1} \geq u_n$, không cần$u_n > 0$).
• Nhầm với dãy số nguyên hoặc dãy số thực: Phải chú ý miền xác định của$n$.

- Phân biệt kỹ giữa tăng (mọi$n$,$u_{n+1} > u_n$) và không giảm (mọi$n$,$u_{n+1} \geq u_n$)

#### 5.2 Lỗi về tính toán

• Sai khi quy đồng mẫu khi tính$u_{n+1} - u_n$.
• Bỏ sót điều kiện xác định của dãy.
• Không kiểm tra hết với mọi$n$, chỉ thử vài trường hợp.

- Hãy luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thế vài giá trị $n$ đầu tiên để đảm bảo kết luận chính xác!

6. Luyện tập miễn phí ngay

Để thành thạo chủ đề này, hãy truy cập và luyện tập với 48.614+ bài tập Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí. Bạn không cần đăng ký, chỉ cần bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập của mình để cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Điểm cần nhớ:

• Luôn so sánh$u_{n+1}$và $u_n$ để kiểm tra đơn điệu.
• Chú ý miền xác định và điều kiện bài toán.
• Học kỹ lý thuyết, thường xuyên luyện tập để ghi nhớ công thức.

Checklist kiến thức trước khi làm bài:

• Nắm vững định nghĩa dãy tăng, giảm, không đổi
• Biết cách tính$u_{n+1} - u_n$hoặc$\frac{u_{n+1}}{u_n}$
• Quy đồng, biến đổi thành thạo các biểu thức phân thức

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Mỗi ngày hãy dành thời gian luyện tập bài tập về kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) để củng cố và nắm chắc chủ đề này.