1. Giới thiệu chung về "kiểm tra tính liên tục tại một điểm"

Trong giải tích lớp 11, một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất là hàm số liên tục và kiểm tra tính liên tục tại một điểm. Việc hiểu rõ về khái niệm này không chỉ giúp bạn giải các bài toán cơ bản mà còn là nền móng để học tốt các phần về giới hạn, đạo hàm và các ứng dụng sau này.

Tính liên tục đóng vai trò quan trọng bởi nó mô tả sự liên mạch, không bị "đứt quãng" của hàm số tại một điểm. Bạn sẽ gặp khái niệm này ở rất nhiều chủ đề liên quan, ví dụ như trong các bài toán về tối ưu, khảo sát hàm số, hoặc thậm chí trong vật lý và các khoa học ứng dụng.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về tính liên tục tại một điểm

Cho hàm số $f(x)$xác định trên một khoảng chứa điểm$x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm$x_0$nếu thỏa mãn cả ba điều kiện sau:

Nói cách khác, hàm số liên tục tại$x_0$nếu đồ thị hàm số "không bị nhảy" hoặc "đứt đoạn" tại điểm đó.

3. Các bước kiểm tra tính liên tục tại một điểm với ví dụ minh họa

Để kiểm tra một hàm số $f(x)$có liên tục tại điểm$x_0$hay không, bạn cần thực hiện tuần tự các bước dưới đây:

Nếu cả ba điều kiện đều được thỏa mãn, hàm số liên tục tại$x_0$. Ngược lại, nếu một trong các điều kiện không đúng, hàm số không liên tục tại$x_0$.

Ví dụ minh họa: Xét hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$tại$x_0 = 1$.

• Bước 1:$f(1) = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$(không xác định, do đó không liên tục tại$x_0 = 1$).

Giả sử đề bài cho$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$với$x \neq 1$và $f(1) = 2$, hãy kiểm tra tính liên tục:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính liên tục liên quan mật thiết đến giới hạn và đạo hàm:

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$tại$x_0 = 2$

• •$f(2) = \frac{4-4}{0}$không xác định → không liên tục tại$x = 2$.

Bài tập 2: Xét hàm số từng phần:

Bài tập 3: Cho$f(x) = x^3$, hãy kiểm tra tính liên tục tại$x_0 = 2$.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt: Những điểm chính cần nhớ

Hy vọng với bài hướng dẫn chi tiết trên, bạn đã nắm vững cách kiểm tra tính liên tục tại một điểm, biết giải thích, trình bày các bước và tránh những lỗi thường gặp để đạt điểm tối đa trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới.