1. Giới thiệu về khái niệm liên tục trên khoảng hoặc đoạn

Khái niệm "liên tục trên khoảng hoặc đoạn" là một trong những nội dung then chốt của chương trình Giải tích lớp 11. Nó đóng vai trò nền tảng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các bài toán giới hạn, đạo hàm và tích phân sau này. Bản chất của liên tục là nghiên cứu sự biến đổi "mượt mà" của hàm số, không có những "đứt đoạn" hay nhảy vọt bất ngờ. Hiểu khái niệm này sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán thực tế và học tốt hơn các kiến thức nâng cao.

2. Định nghĩa chính xác của tính liên tục trên khoảng hoặc đoạn

Để hiểu về tính liên tục, trước hết bạn cần biết định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm:

• Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm$x_0$thuộc tập xác định nếu thỏa mãn cả ba điều kiện:

1. Tồn tại$f(x_0)$.
2. Tồn tại giới hạn$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$.
3.$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Từ định nghĩa trên, ta mở rộng sang tính liên tục trên khoảng hoặc đoạn:

• Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục trên một khoảng (hoặc đoạn)$I$nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng (hoặc đoạn)$I$.
• Đối với đoạn$[a;b]$, cần chú ý đến hai đầu mút:

- Tại$a$, chỉ xét giới hạn phải:$\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x) = f(a)$.
- Tại$b$, chỉ xét giới hạn trái:$\lim\limits_{x \to b^{-}}f(x) = f(b)$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xét ví dụ minh họa sau để hiểu rõ hơn về khái niệm liên tục:

Ví dụ 1: Xét hàm số $f(x) = x^2$trên đoạn$[0;2]$.
Bước 1: Xét trong khoảng$(0;2)$. Tại mọi điểm$x_0$thuộc$(0;2)$, hàm số $x^2$có đạo hàm và giá trị tại mọi điểm nên liên tục.
Bước 2: Xét tại$x = 0$(đầu trái):$\lim\limits_{x \to 0^{+}} x^2 = 0$và $f(0) = 0$→ thỏa liên tục tại đầu trái.
* Bước 3: Xét tại$x = 2$(đầu phải):$\lim\limits_{x \to 2^{-}} x^2 = 4$và $f(2) = 4$→ thỏa liên tục tại đầu phải.
=> Hàm số $f(x) = x^2$liên tục trên đoạn$[0;2]$.

Ví dụ 2: Xét hàm số bậc thang $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{nếu} x < 1 \\ 2 & \text{nếu} x \geq 1 \end{cases}$ trên đoạn $[0;2]$ .
- Tại $x < 1$ hoặc $x > 1$ , hàm là hằng số nên liên tục.
- Tại $x=1$ :
+ \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1
+ \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 2
+ $f(1) = 2$
- Do \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) nên hàm không liên tục tại $x=1$ ⇒ Không liên tục trên $[0;2]$ .

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu hàm số không có giá trị tại$x_0$thì tự động không liên tục tại$x_0$(ví dụ: phân số với mẫu bằng 0).
- Nếu giới hạn trái và phải tại điểm$x_0$không bằng nhau thì hàm không liên tục tại điểm đó.

- Chú ý các điểm đặc biệt ở biên của đoạn: chỉ cần xét một phía (phải ở $a$, trái ở $b$) thay vì hai phía như trong khoảng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính liên tục là cơ sở để học sâu hơn về đạo hàm và tích phân trong chương trình Toán lớp 11 và 12.
- Để một hàm số có đạo hàm (khả vi) tại điểm$x_0$, trước tiên nó phải liên tục tại$x_0$.
- Định lý về giá trị trung gian và định lý về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đều yêu cầu hàm số phải liên tục trên đoạn.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$trên các khoảng sau:
(a)$(-\infty; 0)$
(b)$(0; +\infty)$
(c)$\mathbb{R}$

* Lời giải:
(a) Trên$(-\infty;0)$,$x \ne 0$nên$f(x)$xác định và liên tục (hàm phân thức với mẫu luôn khác 0 trên khoảng này).
(b) Tương tự ở $(0; +\infty)$.
(c) Trên$\mathbb{R}$, tại$x=0$hàm không xác định nên khôg thể liên tục trên toàn bộ $mathbb{R}$.

Bài tập 2: Xét tính liên tục của $f(x) = \sin x$trên$\mathbb{R}$.
* Lời giải: Vì $\sin x$xác định và liên tục tại mọi điểm trên$\mathbb{R}$nên hàm số này liên tục trên toàn$\mathbb{R}$.

Bài tập 3: Tìm các điểm gián đoạn của hàm$f(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$trên$\mathbb{R}$.
* Lời giải: Hàm không xác định tại$x^2-1=0 \Rightarrow x=1\ (f(1)$không xác định) và $x=-1$(f(-1) không xác định). Tại mọi điểm khác,$f(x)$xác định và liên tục nên các điểm gián đoạn là $x=1$và $x=-1$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm giữa liên tục và khả vi: Hàm liên tục chưa chắc khả vi nhưng muốn khả vi thì phải liên tục trước.
- Quên xét tại các điểm biên của đoạn.
- Không kiểm tra điều kiện xác định của hàm tại điểm xét.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc đoạn nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng hoặc đoạn đó (chú ý điểm biên đoạn phải xét một phía).
- Liên tục là điều kiện cần để xét đạo hàm, tích phân và các định lý quan trọng như giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
- Khi giải bài cần kiểm tra cả điều kiện xác định và các giới hạn tại từng điểm.