Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 11, hình học không gian là nội dung then chốt giúp phát triển tư duy không gian và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc và vị trí tương đối của các đối tượng trong không gian. Khái niệm hai mặt phẳng vuông góc là cơ sở để học sinh hiểu sâu hơn về góc giữa các mặt phẳng, đồng thời ứng dụng trong nhiều bài toán kỹ thuật và thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Cho hai mặt phẳng$(\alpha)$và $(\beta)$trong không gian. Chúng được gọi là vuông góc, viết là $(\alpha)\perp(\beta)$, nếu chúng giao nhau và góc giữa chúng bằng$90^\circ$. Có hai cách diễn đạt tương đương:

- Cách 1: Dựa trên vectơ pháp tuyến. Gọi$\mathbf{n}_\alpha$và $\mathbf{n}_\beta$lần lượt là vectơ pháp tuyến của$(\alpha)$và $(\beta)$. Khi đó$(\alpha)\perp(\beta)\iff\mathbf{n}_\alpha \cdot \mathbf{n}_\beta=0$.

- Cách 2: Dựa trên đường thẳng vuông góc. Hai mặt phẳng vuông góc nếu trong một mặt phẳng có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng từ phương trình tổng quát$ax+by+cz+d=0$. Vectơ pháp tuyến là $\mathbf{n}=(a,b,c)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng$\mathbf{n}_\alpha \cdot \mathbf{n}_\beta= a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$. Nếu kết quả bằng 0, hai vectơ pháp tuyến vuông góc, suy ra hai mặt phẳng vuông góc.

Ví dụ minh họa: Xét hai mặt phẳng$P: x+2y+3z-6=0$ và$Q: 2x-y+4=0$. Ta có$\mathbf{n}_P=(1,2,3)$ và$\mathbf{n}_Q=(2,-1,0)$. Tích vô hướng là$1 \cdot 2+2 \cdot (-1)+3 \cdot 0=2-2+0=0$. Vậy$P\perp Q$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Hai mặt phẳng song song không thể vuông góc vì không có giao tuyến.
- Nếu hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến thẳng hàng (tương đồng), chúng song song hoặc trùng nhau, không vuông góc.
- Luôn kiểm tra phương trình tổng quát để xác định đúng vectơ pháp tuyến trước khi tính tích vô hướng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Góc giữa hai mặt phẳng$\theta$ được tính bởi công thức

- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đều có sự liên quan chặt chẽ với vectơ pháp tuyến.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng$P: x-y+z-2=0$ và$Q: y+z-1=0$. Chứng minh$P\perp Q$.

Lời giải:
- Vectơ pháp tuyến của$P$là $\mathbf{n}_P=(1,-1,1)$.
- Vectơ pháp tuyến của$Q$là $\mathbf{n}_Q=(0,1,1)$.
- Tích vô hướng:$1 \cdot 0+(-1) \cdot 1+1 \cdot 1=0-1+1=0$. Do đó $\mathbf{n}_P\perp\mathbf{n}_Q$, suy ra$P\perp Q$.

Bài tập 2: Cho mặt phẳng$P: x+2y-2z+4=0$và điểm$A(1,0,2)$. Lập phương trình mặt phẳng$Q$ đi qua$A$và vuông góc với$P$.

Lời giải:
- Phương trình$P$cho vectơ pháp tuyến$\mathbf{n}_P=(1,2,-2)$.
- Mặt phẳng$Q$vuông góc với$P$sẽ có cùng vectơ pháp tuyến, giả sử phương trình$Q: x+2y-2z+d=0$.
- Thay điểm$A(1,0,2)$:$1+2 \cdot 0-2 \cdot 2+d=0\implies1-4+d=0\implies d=3$.
- Vậy$Q: x+2y-2z+3=0$và rõ ràng$Q\perp P$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương của giao tuyến.
- Quên kiểm tra hệ số của$x,y,z$ để xác định đúng vectơ pháp tuyến.
- Bỏ qua trường hợp hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau.
- Đọc kỹ đề bài để biết yêu cầu chứng minh vuông góc hay song song.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc:$\mathbf{n}_\alpha \cdot \mathbf{n}_\beta=0$.
- Xác định đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình tổng quát$ax+by+cz+d=0$.
- Luôn kiểm tra điều kiện giao tuyến trước khi áp dụng định nghĩa vuông góc.
- Nắm vững công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và các công thức liên quan để ứng dụng linh hoạt trong bài tập.