Blog

Lớp 11

Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Lý thuyết, ví dụ, cách luyện tập hiệu quả cho lớp 11

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc là khái niệm trọng tâm trong chương VII – Quan hệ vuông góc trong không gian – chương trình Toán lớp 11. Việc hiểu sâu về cách nhận biết, chứng minh và vận dụng lý thuyết này giúp học sinh phát triển tư duy không gian, chuẩn bị cho các dạng bài tập hình học phức tạp hơn và tạo nền móng cho kiến thức hình học lớp 12, ôn thi THPT Quốc gia cũng như giải quyết tốt các bài toán thực tiễn như thiết kế nhà cửa hay kỹ thuật.Hiện tại, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập chuyên sâu về chủ đề này ngay trong bài viết!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng d nằm trong (P) và vuông góc với một đường thẳng d' nằm trong (Q), đồng thời hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm chung trên giao tuyến của hai mặt phẳng.

• Tính chất: Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) tại điểm O, và nếu đường này cũng vuông góc với mặt phẳng (Q), thì (P) và (Q) vuông góc với nhau.

• Điều kiện áp dụng: Hai mặt phẳng phải cắt nhau (không trùng, không song song) thì mới có thể xét đến quan hệ vuông góc.

2.2. Công thức và quy tắc

• Công thức cần nhớ nhất:

  • Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Δ, để chứng minh (P) ⟂ (Q) tại Δ, chỉ cần tìm đường thẳng d nằm trên (P) sao cho d ⟂ Δ và d ⟂ (Q).
  • Trong tọa độ: Nếu có (P):a1x+b1y+c1z+d1=0a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0và (Q):a2x+b2y+c2z+d2=0a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0, thì (P) và (Q) vuông góc khi và chỉ khi:a1a2+b1b2+c1c2=0a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0(tức là hai vectơ pháp tuyến vuông góc).

Cách ghi nhớ: Luôn gắn yếu tố 'đường thẳng vuông góc giao tuyến và vuông góc mặt phẳng còn lại' khi xem xét vuông góc giữa hai mặt phẳng.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1. Ví dụ cơ bản

Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'có cạnhaa. Chứng minh rằng hai mặt phẳng(ABB′A′)(ABB'A')và (BCC′B′)(BCC'B')vuông góc với nhau.

Giải:

- Giao tuyến của hai mặt phẳng là BB′BB'
- Xét đường thẳng ABightarrowAB ightarrowthuộc(ABB′A′)(ABB'A').
- AB⊥BB′AB \perp BB'(do hình lập phương)
-AB⊂(ABB′A′)AB \subset (ABB'A'), AB⊥BB′AB \perp BB'(giao tuyến) và AB⊥(BCC′B′)AB \perp (BCC'B')(doAB∥CC′AB \parallel CC'và (BCC′B′)(BCC'B')chứaBB′BB'và CC′CC', mà các đoạn này đều vuông góc với ABAB).
⋙ Kết luận: Hai mặt phẳng này vuông góc nhau tại giao tuyến BB′BB'.

  • Khi chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, luôn xác định rõ giao tuyến và chọn đường thẳng phù hợp để dùng định nghĩa.

3.2. Ví dụ nâng cao

Trong không gianOxyzOxyz, cho hai mặt phẳng:(P):x+y+z−3=0(P): x + y + z - 3 = 0,(Q):x−y+z+1=0(Q): x - y + z + 1 = 0. Chứng minh rằng chúng vuông góc.

Giải:
- Pháp tuyến của (P) là

vecn1=(1,1,1)\\vec{n}_1 = (1,1,1)

- Pháp tuyến của (Q) là
vecn2=(1,−1,1)\\vec{n}_2 = (1, -1, 1)

- Xét tích vô hướng:
vecn1⋅vecn2=1×1+1×(−1)+1×1=1−1+1=1\\vec{n}_1 \cdot \\vec{n}_2 = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times 1 = 1 - 1 + 1 = 1

-1≠01 \neq 0nên hai mặt phẳng KHÔNG vuông góc.
Giả sử thay(Q):x−y−z=0(Q): x - y - z = 0thì:
vecn2=(1,−1,−1)\\vec{n}_2 = (1, -1, -1)

n⃗1⋅n⃗2=1×1+1×(−1)+1×(−1)=1−1−1=−1\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times (-1) = 1 - 1 - 1 = -1
-−1≠0-1 \neq 0vẫn không vuông góc, vậy nên các hệ số cần điều chỉnh để bằng00sẽ có mặt phẳng vuông góc. Dễ thấy(Q):x−y=0(Q): x - y = 0có pháp tuyến(1,−1,0)(1, -1, 0), khi đó n⃗1⋅n⃗2=1×1+1×(−1)=1−1=0\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \times 1 + 1 \times (-1) = 1 - 1 = 0(do thiếuzznên các mặt phẳng này vuông góc).

  • Với mặt phẳng tọa độ, tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến là công cụ nhanh nhất để kiểm tra hai mặt phẳng vuông góc.

4. Các trường hợp đặc biệt

  • Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau: không thể xét vuông góc.
  • Các mặt phẳng chia không gian thành các hình học quen thuộc (như hình lập phương, hình hộp chữ nhật) thường có các cặp mặt phẳng vuông góc.

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng chắc chắn vuông góc.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1. Lỗi về khái niệm

  • Nhầm nhẫn giữa vuông góc mặt phẳng với vuông góc đường thẳng.
  • Lẫn lộn điều kiện hai mặt phẳng vuông góc với việc hai đường vuông góc.

Hãy luôn kiểm tra lại định nghĩa và chú ý tới giao tuyến khi chứng minh.

5.2. Lỗi về tính toán

  • Tính sai tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến trong bài toán tọa độ.
  • Quên kiểm tra điều kiện hai mặt phẳng phải cắt nhau.

Luôn xác định rõ các vectơ pháp tuyến và dùng công thức chính xác. Sau khi tính xong, trả lời lại câu hỏi đề ra và tự kiểm tra kết luận.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay 42.226+ bài tập Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc miễn phí tại đây. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay. Mỗi câu hỏi đều có đáp án để bạn kiểm tra, đánh giá tiến bộ và cải thiện kỹ năng hàng ngày!

  • Theo dõi tiến độ học tập cá nhân
  • Học Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc miễn phí, không giới hạn số lần làm bài

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Nắm chắc định nghĩa: Vuông góc khi tồn tại một đường trong mặt phẳng này vuông góc giao tuyến và vuông góc mặt phẳng kia.
  • Ghi nhớ công thức liên quan đến tích vô hướng pháp tuyến.
  • Quy trình làm bài: Xác định giao tuyến, chọn đường thẳng phù hợp và dùng định nghĩa hoặc tích vô hướng.

Checklist ôn tập hiệu quả:
- Ôn lại lý thuyết, công thức, định nghĩa
- Làm đi làm lại các ví dụ điển hình
- Luyện thêm các bài tập Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc miễn phí
- Tự kiểm tra và đối chiếu kết quả để củng cố kiến thức

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".