1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 11, chuyên đề Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nằm trong chương "Quan hệ vuông góc trong không gian". Đây là một nội dung quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy hình học, từ đó vận dụng giải các bài toán không gian thực tế và các bài kiểm tra, thi cử. Đặc biệt, kiến thức này còn xuất hiện nhiều trong đề kiểm tra, các kỳ thi học kỳ, tốt nghiệp cũng như các bài toán ứng dụng trong kiến trúc, xây dựng, vật lý, lập trình, v.v.

Hiểu rõ nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc giúp học sinh phân biệt được các mối quan hệ không gian phức tạp, vẽ hình chính xác hơn và tránh mắc lỗi. Bạn cũng có thể luyện tập miễn phí với hơn 38.208+ bài tập thực hành để nâng cao kỹ năng giải toán này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng$(eta)$và $(eta')$gọi là vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng$d$nằm trong$(eta)$, một đường thẳng$d'$nằm trong$(eta')$và $d ot d'$tại giao điểm của chúng.

• Định lý: Hai mặt phẳng$(eta)$và $(eta')$vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu có một đường thẳng$a$thuộc$(eta)$vuông góc với một đường thẳng$b$thuộc$(eta')$tại điểm chung của chúng, đồng thời$a$vuông góc với mọi đường thẳng của$(eta')$ đi qua điểm đó.

• Dấu hiệu nhận biết: Nếu trong mặt phẳng này tồn tại một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc.

• Ứng dụng: Chứng minh vị trí vuông góc của hai mặt phẳng trong các khối đa diện, xác định góc giữa hai mặt phẳng, ứng dụng trong vẽ kỹ thuật, lập mô hình 3D, kiến trúc,…

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức nhận biết:

- Nếu$d$là đường thẳng thuộc mặt phẳng$(eta)$và $d ot (eta')$(nghĩa là $d$vuông góc với mọi đường thẳng thuộc$(eta')$đi qua giao điểm), thì$(eta) ot (eta')$.

- Nếu $(eta) \cap (eta') = d$và tồn tại một đường thẳng$a \subset (eta)$, $a \perp d$tại$O$và $a \perp (eta')$thì $(eta) \perp (eta')$tại$d$

• Cách ghi nhớ: Hãy nhớ 'phải có một đường trên mặt phẳng này vuông góc mọi đường trên mặt phẳng kia tại điểm giao nhau!'

• Điều kiện sử dụng: Áp dụng khi hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến hoặc cắt tại một điểm; không áp dụng khi hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau.

• Biến thể: Sử dụng yếu tố giao tuyến, đường vuông góc chung hoặc phép chiếu để chứng minh.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh hai mặt phẳng$(ABC)$và $(A'B'C')$vuông góc nhau.

Giải chi tiết:

- Lấy điểm$A$,$AA'$là cạnh vuông góc với mặt$(ABC)$và nằm trên mặt$(A'B'C')$.

- Dễ thấy:$AA' \perp (ABC)$(theo tính chất hình lập phương).

-$AA'$cũng thuộc$(A'B'C')$.

- Suy ra:$(ABC) \perp (A'B'C')$.

Lưu ý: Luôn xác định đường vuông góc tại giao điểm hoặc dựa vào tính chất hình học đặc biệt của khối đa diện (hình hộp chữ nhật, hình lập phương,…).

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho tứ diện$ABCD$, biết$AB \perp (BCD)$,$AC \perp BC$tại$C$. Chứng minh$(ABC) \perp (ACD)$.

Giải chi tiết:

- $AC \subset (ABC) \cap (ACD)$.

-$AB \perp (BCD)$nên$AB \perp BC$và $AB \perp CD$.

-$AB \perp AC$(theo giả thiết hoặc hình học không gian).

-$AB$nằm trong$(ABC)$và vuông góc với đường giao$AC$giữa hai mặt phẳng.

- Suy ra,$(ABC) \perp (ACD)$tại$AC$.

Kỹ thuật nâng cao: Xác định chính xác giao tuyến và đường vuông góc, kết hợp các giả thiết vuông góc cho sẵn.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu hai mặt phẳng song song thì không thể vuông góc.

- Nếu mặt phẳng chứa đường vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

- Các mối liên hệ: Quan hệ vuông góc giữa mặt phẳng và đường thẳng, đường vuông góc chung.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa khái niệm vuông góc giữa hai mặt phẳng với vuông góc giữa mặt phẳng và đường thẳng. Luôn xác định đúng mối quan hệ cần chứng minh.

- Hiểu sai điều kiện: Chỉ khi có một đường trong mặt phẳng này vuông góc mọi đường của mặt phẳng kia qua giao điểm thì hai mặt phẳng mới vuông góc.

- Ghi nhớ nguyên tắc: Đường vuông góc giao tuyến là điểm then chốt!

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên xét đủ các điều kiện vuông góc, chọn nhầm đường thẳng.

- Sai lầm trong hình vẽ, thiếu suy luận các bước trung gian.

- Để kiểm tra, có thể dùng vector pháp tuyến hoặc đối chiếu lại điều kiện đủ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể luyện tập với hơn 38.208+ bài tập Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc miễn phí trên hệ thống, hoàn toàn không cần đăng ký. Bắt đầu giải ngay các bài toán thực tế, theo dõi và đánh giá tiến trình học của mình để cải thiện kỹ năng từng ngày!

Tìm hiểu ngay tại: [Luyện tập miễn phí] (#)

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Muốn hai mặt phẳng vuông góc: Tìm một đường thẳng trên mặt này vuông góc với mọi đường đi qua điểm giao trên mặt còn lại.

- Nhớ xác định đúng giao tuyến, sử dụng hình vẽ và công thức phù hợp.

- Luyện tập nhiều, kiểm tra kỹ hình vẽ và các thông tin giả thiết!

Checklist ôn tập:

• Nắm chắc định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc
• Hiểu và ghi nhớ các công thức, điều kiện áp dụng
• Luyện giải các ví dụ cơ bản và nâng cao
• Chú ý các lỗi thường gặp, cách phân biệt với các quan hệ khác

Hãy lên kế hoạch luyện tập với các bài tập miễn phí để hiểu sâu, nhớ lâu và đạt kết quả cao môn Toán 11 nhé!