1. Giới thiệu về tầm quan trọng trong thi cử

Bài 26. Khoảng cách nằm trong chương Quan hệ vuông góc trong không gian, là kiến thức trọng tâm của Toán hình học lớp 11. Chủ đề này thường xuất hiện ở 1–2 câu trong đề kiểm tra, học kỳ và đề thi tuyển sinh, chiếm khoảng 10–20% tổng số điểm phần hình học không gian. Độ khó trải dài từ cơ bản đến nâng cao, đặc biệt trong các đề thi chuẩn hóa. Đây là cơ hội để bạn nắm chắc điểm số với hơn {problem_count}+ đề thi và bài tập luyện thi miễn phí.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng, điểm và mặt phẳng, hai đường thẳng chéo nhau, hai mặt phẳng song song là gì?
- Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất nối các đối tượng đó.
- Định lý, tính chất:
+ Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính là độ dài đoạn vuông góc nối hai mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường.
- Điều kiện áp dụng: Các công thức chỉ dùng cho các đối tượng không cắt nhau hoặc đủ điều kiện xác định duy nhất đường vuông góc (ví dụ: mặt phẳng song song, đường thẳng chéo nhau, điểm không nằm trên đường/mặt).

2.2 Công thức và quy tắc

- $d(M, ext{đường thẳng } riangle) = \frac{|AM \times u|}{|u|}$(với$u$là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng,$AM$là véc-tơ từ một điểm trên đường đến$M$)
- $d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$(với$(P): Ax+By+Cz+D=0, M(x_0, y_0, z_0)$)
- $d(ext{đường thẳng } a, ext{đường thẳng } b) = \frac{|[u_a, u_b] \cdot AB|}{|[u_a, u_b]|}$(với$u_a,u_b$là véc-tơ chỉ phương,$AB$nối hai điểm khác nhau trên$a,b$)
- $d(ext{2 mặt phẳng song song}) = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Ghi nhớ công thức bằng sơ đồ tư duy/chia nhóm theo đối tượng (điểm–đường, điểm–mặt, đường–đường,…). Luôn kiểm tra điều kiện áp dụng trước khi dùng công thức.

3. Phân loại dạng bài thi

3.1 Dạng bài cơ bản (30-40% đề thi)

- Nhận biết: Tính khoảng cách giữa điểm - mặt phẳng, điểm - đường thẳng, hai mặt phẳng song song.
- Phương pháp chuẩn: Dựng hình, xác định đối tượng vuông góc, áp dụng đúng công thức.
- Ví dụ: Cho điểm $M(1,2,3)$và mặt phẳng$(P): x+y+z-6=0$, tính $d(M, (P))$.
Giải: $d = \frac{|1+2+3-6|}{\sqrt{1+1+1}} = 0$ ⇒ M nằm trên mặt phẳng.

3.2 Dạng bài trung bình (40-50% đề thi)

- Nhận biết: Bài toán có đối tượng không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng, yêu cầu dựng đường vuông góc gián tiếp.
- Cách tiếp cận: Vẽ hình, xác định chính xác mặt phẳng/trực giao, phân tích đối tượng cầu hình.
- Các bước giải: Dựng hình phụ, tìm tọa độ/véc-tơ vuông góc, áp dụng công thức liên quan.
- Biến thể: Điểm - hình chóp, khoảng cách từ cạnh đến mặt chéo,…
- Ví dụ: Tìm khoảng cách từ điểm$A(1,2,3)$tới đường thẳng$d: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}$.
Chọn 1 điểm$M$trên$d$, tính véc-tơ $AM$, dùng công thức$d = \frac{|AM \times u|}{|u|}$.

3.3 Dạng bài nâng cao (10-20% đề thi)

- Đặc điểm: Phối hợp nhiều kiến thức (tọa độ, hình học phẳng, hình học không gian).
- Kỹ thuật: Dùng véc-tơ hỗn hợp, phương pháp đổi hệ trục, dùng hình học giải thích luận.
- Chiến lược: Chia nhỏ thành các câu hỏi phụ, giải từng phần trước khi tổng hợp.
- Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong tứ diện không đều.

4. Chiến lược làm bài thi

4.1 Quản lý thời gian

- Bài cơ bản: 3-5 phút mỗi bài
- Bài trung bình: 7-10 phút
- Bài nâng cao: 12-15 phút
Ưu tiên làm bài dễ trước, khi gặp bài khó nên đánh dấu để làm sau nhằm tránh mất thời gian. Nếu thấy bế tắc trên 5 phút mà chưa tìm ra hướng, hãy bỏ qua để quay lại sau.

4.2 Kỹ thuật làm bài

- Đọc kỹ đầu bài, xác định đối tượng cần tính khoảng cách.
- Phác thảo hình và viết giả thiết rõ ràng.
- Lập kế hoạch giải: Chọn công thức phù hợp, tra điều kiện áp dụng, tránh suy diễn thiếu căn cứ.
- Kiểm tra kết quả: So sánh với điều kiện hình học hoặc hình vẽ.

4.3 Tâm lý thi cử

- Nếu gặp bài khó, hít thở sâu, đánh dấu và chuyển sang câu khác.
- Khi không nhớ công thức, hãy viết lại kiến thức cơ bản, suy luận định nghĩa và thử áp dụng.
- Tin vào năng lực bản thân, mọi kiến thức đã ôn tập đều có ích!

5. Bài tập mẫu từ đề thi

5.1 Đề thi học kỳ

Ví dụ 1: Cho hình chóp$S.ABC$với đáy$ABC$là tam giác đều cạnh$a$,$SO \perp (ABC)$,$SO=a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến$SC$.
Lời giải: Dựng hình, tìm giao điểm vuông góc, áp dụng định lý Pytago hoặc công thức đoạn vuông góc.

Ví dụ 2: Cho điểm $M(3,4,5)$, mặt phẳng $(P): 2x-y+2z-15=0$, tính $d(M, (P))$.
Giải: $d=\frac{|2<em>3-1</em>4+2*5-15|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|6-4+10-15|}{3}=\frac{|-3|}{3}=1.$

• Các bài thường tập trung vào mối quan hệ điểm–mặt, kiểm tra khả năng vận dụng công thức, thường cho 0,5–1 điểm/câu.

5.2 Đề thi tuyển sinh

Ví dụ: Cho hai đường thẳng chéo nhau$a, b$có phương trình tham số xác định, tìm khoảng cách giữa chúng.
Đây thường là câu 5–6, mức độ khó vừa phải tới nâng cao. Học sinh có thể phải phối hợp cả công thức véc-tơ và phân tích hình học để tìm đáp án chính xác.

6. Lỗi thường gặp và cách tránh

6.1 Lỗi về kiến thức

- Nhầm lẫn công thức (lẫn d(M, d) với d(M, (P)))
- Sử dụng công thức cho đối tượng không đúng điều kiện (đường cắt nhau, điểm nằm trên mặt,...)
- Bỏ qua các bước trung gian quan trọng khi dựng đường vuông góc

6.2 Lỗi về kỹ năng

- Lỗi tính toán số học, sai dấu, sai căn bậc hai
- Đọc sai đề, xác định nhầm đối tượng
- Trình bày kết quả thiếu đơn vị, hoặc thiếu giải thích bước làm

6.3 Cách khắc phục

- Tạo checklist kiểm tra trước khi nộp bài (đúng công thức, đúng đối tượng, đủ bước)
- Sau khi giải xong, tính thử lại bằng phương pháp khác (tọa độ/chứng minh hình học)
- Luyện tập mỗi ngày 2-3 bài, ưu tiên dạng từng mắc lỗi

7. Kế hoạch ôn tập chi tiết

7.1 Giai đoạn 2 tuần trước thi

- Ôn kỹ lý thuyết và phân loại công thức
- Làm 10-15 bài tập tổng hợp, tập trung nhận dạng đối tượng và xác định phương thức giải
- Ghi chú những phần hay nhầm lẫn

7.2 Giai đoạn 1 tuần trước thi

- Luyện đề thi thử, canh đúng thời gian thật
- Tổng kết các lỗi còn gặp, rà soát nhanh các công thức
- Ôn tập các dạng bài hay sai

7.3 Giai đoạn 3 ngày trước thi

- Không học dồn, giải các bài dễ để tạo cảm giác thành công
- Xem lại sơ đồ công thức, không cần học thêm kiến thức mới
- Ăn ngủ hợp lý, giữ sức khỏe tốt

8. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

- Với các bài tọa độ, ưu tiên tính nhanh bằng máy tính (nếu được phép) các phép cộng, trừ, căn bậc hai
- Với bài không gian, vẽ hình minh họa rõ ràng, dùng ký hiệu rõ để dễ kiểm tra lại
- Với dạng nghiệm dài, cố gắng rút gọn các biểu thức trung gian
- Trình bày từng bước, mỗi ý rõ ràng trên một dòng

9. Luyện thi miễn phí ngay

- Truy cập ngay kho đề {problem_count}+ đề thi và bài tập ôn thi Bài 26. Khoảng cách miễn phí
- Không cần đăng ký, thực hành trực tuyến, chấm điểm tự động
- Theo dõi kết quả, tiến bộ sau mỗi lần làm bài

10. Tài liệu ôn tập bổ sung

- Sách giáo khoa Toán 11 (cơ bản, nâng cao)
- Sách bài tập, đề thi các năm trước
- Khóa học online chuyên luyện thi lớp 11
- Tham gia nhóm học tập, thảo luận online để trao đổi kinh nghiệm và giải đáp thắc mắc