1. Giới thiệu về tầm quan trọng của Bài tập cuối chương VII trong các kỳ thi

Bài tập cuối chương VII Toán lớp 11 là phần tổng hợp lại các kiến thức trọng tâm của chương, thường xuất hiện dưới dạng các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong kỳ thi giữa kỳ, học kỳ, hoặc thi thử. Vững vàng chuyên đề này giúp học sinh không chỉ đạt điểm cao mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các lớp tiếp theo, đặc biệt là môn Toán lớp 12 và kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Ở chương VII Toán lớp 11 (tùy sách giáo khoa, nhưng thường là về Tổ hợp - Xác suất hoặc Dãy số - Cấp số cộng, cấp số nhân), học sinh cần nắm chắc các kiến thức sau:

• Định nghĩa và tính chất của dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và các công thức liên quan.
• Khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị và ứng dụng vào giải bài toán đếm.
• Công thức xác suất, các định lý xác suất cơ bản, biến cố độc lập, biến cố đối, phép cộng và phép nhân trong xác suất.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Dưới đây là danh sách các công thức trọng tâm mà bạn phải thuộc lòng để "đánh nhanh, thắng lớn" trong kỳ thi.

Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

• Cấp số cộng (CSC) có công sai$d$, số hạng đầu$u_1$:
  - Số hạng thứ $n$:$u_n = u_1 + (n-1)d$
  - Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$hoặc$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$
• Cấp số nhân (CSN) có công bội$q$, số hạng đầu$u_1$:
  - Số hạng thứ $n$:$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$
  - Tổng$n$số hạng đầu (với$q <br> \neq 1$):$S_n = u_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}$
• Điều kiện cấp số cộng:$u_{n+1} - u_n = d$(hằng số với mọi$n$)
  Điều kiện cấp số nhân:$\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$(hằng số với mọi$n$)

Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

• Hoán vị $n$phần tử:$P_n = n!$
• Chỉnh hợp chập$k$của$n$:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
• Tổ hợp chập$k$của$n$:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Công thức xác suất cơ bản

• Xác suất biến cố $A$:$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$trong đó $n(A)$là số phần tử của biến cố $A$,$n(\Omega)$là tổng số kết quả có thể.
• Nếu các biến cố $A$và $B$không xung khắc:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Nếu$A$và $B$ độc lập:$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• Bài toán tổng quát về dãy số: tìm số hạng tổng quát, kiểm tra CSC hoặc CSN, tìm số hạng trung gian.
• Tìm tổng$n$số hạng đầu, hoặc tìm số hạng thứ $n$biết tổng.
• Chứng minh dãy số là CSC hoặc CSN.
• Bài toán tổ hợp: đếm số cách chọn, sắp xếp.
• Bài toán xác suất: tính xác suất của một biến cố, vận dụng nhiều biến cố.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

Dạng dãy số, cấp số cộng/nhân

• Tóm tắt đề, xác định rõ yêu cầu (tìm$u_n$, tính tổng, chứng minh)
• Ghi rõ các thông tin đã cho ($u_1$,$d$,$q$, tổng...) và thay vào công thức chính xác
• Nếu chưa biết$d$(hoặc$q$), lập phương trình từ hai số hạng liên tiếp hoặc từ tổng để giải ra

Dạng tổ hợp, xác suất

• Phân tách bài toán theo biến cố, vẽ sơ đồ hoặc chú thích các tập hợp để tránh sót trường hợp
• Đếm cẩn thận từng trường hợp, xác định khi dùng tổ hợp, khi dùng chỉnh hợp, khi dùng hoán vị
• Áp dụng công thức xác suất hợp lý (nhớ kiểm tra tổng số các khả năng là đúng)

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Bài 1: Dãy số - Cấp số cộng

Cho dãy số $(u_n)$xác định bởi$u_1 = 3$,$u_{n+1} = u_n + 4$. Tính$u_{15}$và $S_{15} = u_1 + u_2 +... + u_{15}$.

Lời giải:

Ta có $u_1=3$, công sai$d=4$.

Số hạng thứ 15:
$u_{15} = u_1 + (15-1)d = 3 + 14 \times 4 = 3 + 56 = 59$
Tổng 15 số hạng đầu:
$S_{15} = \frac{15}{2}(u_1 + u_{15}) = \frac{15}{2}(3+59) = \frac{15}{2} \times 62 = 465$

Bài 2: Xác suất tổ hợp

Một lớp có 25 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn đi thi. Tính xác suất để cả 3 bạn đều là nữ, biết lớp có 10 bạn nữ.

Lời giải:

Số cách chọn 3 bạn bất kỳ từ 25 bạn:$C_{25}^3$.
Số cách chọn 3 bạn nữ:$C_{10}^3$.
Vậy xác suất:
$P = \frac{C_{10}^3}{C_{25}^3} = \frac{120}{2300} = \frac{12}{230} = \frac{6}{115}$

Bài 3: Dãy số - Cấp số nhân

Cho cấp số nhân$(v_n)$với$v_1=2$, công bội$q=3$. Viết công thức tổng quát và tính tổng 5 số hạng đầu.

Lời giải:

Số hạng tổng quát:$v_n = 2 \cdot 3^{n-1}$
Tổng 5 số hạng đầu:
$S_5 = 2 \cdot \frac{3^5-1}{3-1} = 2 \cdot \frac{243-1}{2} = 2 \cdot 121 = 242$

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

• Sử dụng sai công thức (ví dụ nhầm giữa công thức CSC và CSN)
• Không nhớ điều kiện áp dụng (ví dụ công bội phải khác 1 trong tổng CSN)
• Đếm thiếu/sót trường hợp khi giải toán tổ hợp, xác suất
• Không rút gọn kết quả hoặc để đáp số dưới dạng phân số chưa tối giản
• Lỗi trình bày, khai báo sai giả thiết hoặc kết luận không rõ ràng

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian: 2 tuần, 1 tuần, 3 ngày trước thi

Giai đoạn 2 tuần trước thi

• Tổng hợp toàn bộ lý thuyết, ghi nhớ định nghĩa, công thức
• Ôn lại bài tập ví dụ trong sách giáo khoa, làm các bài tập đầu chương và cuối chương

Giai đoạn 1 tuần trước thi

• Làm đề thi thử, kiểm tra thời gian thực tế
• Ôn tập các dạng bài vận dụng và vận dụng cao, chú ý các dạng bài tổng hợp nhiều kiến thức
• Hỏi giáo viên hoặc bạn bè các vướng mắc chưa hiểu

Giai đoạn 3 ngày trước thi

• Ôn nhanh công thức, các "điểm yếu" cá nhân thường dễ sai
• Giải lại các bài tập điển hình, không làm bài mới lạ để tránh rối
• Ngủ đủ giấc, tâm lý thoải mái

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Đọc kỹ đề, gạch chân yêu cầu câu hỏi
• Luôn viết ra công thức, thông tin đã biết trước khi thay số
• Nếu quên công thức, thử phân tích dựa vào định nghĩa cơ bản (ví dụ với CSC, lấy hiệu hai số hạng liên tiếp)
• Bài toán tổ hợp, xác suất: vẽ sơ đồ cây hoặc hình minh họa, giúp tránh sót trường hợp và kiểm tra lại tính hợp lý
• Chia nhỏ bài toán phức tạp thành các bước nhỏ, giải từng phần trước khi hợp lại
• Kiểm tra lại đáp số cuối cùng, đặc biệt là kết quả xác suất có hợp lý (luôn nhỏ hơn 1)

Kết luận: Lên kế hoạch và chăm chỉ luyện tập là chìa khóa thành công

Việc ôn thi Bài tập cuối chương VII lớp 11 không chỉ giúp bạn chinh phục kỳ thi mà còn làm giàu kiến thức nền tảng toán học. Hãy chủ động lên kế hoạch, luyện tập thường xuyên và chú ý tránh các lỗi cơ bản. Chúc các bạn đạt kết quả xuất sắc!