1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề trong các kỳ thi

Trong chương III Toán 11, các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm (gồm trung bình, trung vị, mốt) là chủ đề trọng tâm thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và cả đề thi thử. Chủ đề này kiểm tra khả năng tổng hợp, xử lý số liệu, hiểu bản chất và áp dụng công thức đúng trong từng hoàn cảnh. Vì thế, nắm vững chương này giúp các em tự tin đạt điểm cao và làm tốt dạng bài thực tiễn trong các kỳ thi.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Các nội dung cốt lõi của chương:

• Khái niệm mẫu số liệu ghép nhóm (bảng tần số ghép nhóm, lớp ghép nhóm, tần số, tần suất).
• Tính số trung bình cộng ghép nhóm.
• Tìm trung vị (median) của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Tìm mốt (mode) của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Đặc điểm, ưu nhược điểm, ý nghĩa thực tiễn của mỗi số đặc trưng.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

a) Tính số trung bình cộng (mean) của mẫu số liệu ghép nhóm:

Công thức trung bình cộng ghép nhóm:

$\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i^*}{\sum f_i}$

Trong đó:

• $f_i$là tần số của lớp thứ $i$.
• $x_i^*$là giá trị trung điểm của lớp thứ $i$(trung điểm đoạn ghép nhóm).

b) Trung vị (median): Áp dụng cho số liệu ghép nhóm, sử dụng công thức:

$Med = a + \frac{\left(\frac{n}{2} - F_{trc}\right)}{f_{med}} \cdot d$

Trong đó:

• $a$là giá trị dưới của lớp chứa trung vị;
• $n$là tổng số mẫu;
• $F_{trc}$là tổng tần số các lớp phía trước lớp trung vị;
• $f_{med}$là tần số của lớp chứa trung vị;
• $d$là độ rộng của lớp (hiệu hai cận lớp,$d = b - a$).

c) Mốt (mode): Công thức mốt mẫu số liệu ghép nhóm:

$Mo = a + \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \cdot d$

Trong đó:

• $a$là giá trị dưới của lớp có tần số lớn nhất (lớp mốt);
• $f_1$là tần số của lớp mốt;
• $f_0$là tần số của lớp liền trước lớp mốt;
• $f_2$là tần số của lớp liền sau lớp mốt;
• $d$là độ rộng lớp.

Lưu ý: Cần xác định đúng lớp mốt (lớp có tần số lớn nhất) và các tần số liên quan.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

1. Dạng 1: Tính số trung bình cộng mẫu ghép nhóm.
2. Dạng 2: Tìm trung vị với bảng tần số ghép nhóm.
3. Dạng 3: Tìm mốt với bảng tần số ghép nhóm.
4. Dạng 4: Bài tổng hợp: yêu cầu tính toàn bộ trung bình – trung vị – mốt.
5. Dạng 5: Bài ứng dụng thực tế (xử lý, đánh giá số liệu, so sánh số đặc trưng…).

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

• Đọc kỹ đề, xác định đúng dạng bài, bảng số liệu và các thông số cần thiết.
• Ghi lại các công thức ở nháp, đánh dấu tần số, lớp, trung điểm… chính xác.
• Chọn lớp đúng (lớp trung vị, lớp mốt) dựa trên thứ tự và điều kiện cần.
• Xác định đầy đủ các thành phần trong công thức (kiểm tra số học sinh, tổng tần số, độ rộng lớp…).
• Biểu diễn các phép tính LaTeX hoặc trình bày từng bước rõ ràng để tránh nhầm lẫn.
• Kiểm tra lại đáp số, đặc biệt trong các bài tổng hợp nhiều yêu cầu.

Với từng dạng cụ thể:
- Dạng 1: Lập bảng phụ với cột tần số và trung điểm, tính tích rồi tính tổng.
- Dạng 2: Lấy tổng tần số chia 2 xác định vị trí trung vị, dùng công thức xác định lớp trung vị và áp dụng công thức.
- Dạng 3: Tìm lớp có tần số lớn nhất, xác định các tần số liên quan, tính theo công thức.
- Dạng tổng hợp: Giải theo từng bước ứng với từng đại lượng.
- Dạng thực tế: Giải thích ý nghĩa từng giá trị trung bình, trung vị, mốt trong bối cảnh được cho.

6. Bài tập mẫu từ đề thi trước và lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (Đề thi thử học kỳ):
Cho bảng tần số ghép nhóm sau về chiều cao (cm) của 100 học sinh:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Lớp (cm)} & [150,155) & [155,160) & [160,165) & [165,170) & [170,175) \\ \hline
\text{Tần số}~(f_i) & 10 & 18 & 32 & 28 & 12 \\ \hline
\end{array}
\]
Tính (a) số trung bình cộng, (b) trung vị, (c) mốt của số liệu này.

Giải chi tiết:
(a) Trung bình cộng
- Tính trung điểm mỗi lớp: $x_1^<em> = 152.5$, $x_2^</em> = 157.5$, $x_3^<em> = 162.5$, $x_4^</em> = 167.5$, $x_5^<em> = 172.5$
- Tính tổng $\sum f_i x_i^</em>$:

10x152.5 + 18x157.5 + 32x162.5 + 28x167.5 + 12x172.5 =
1525 + 2835 + 5200 + 4690 + 2070 = 16320

Số trung bình cộng:

$\overline{x} = \frac{16320}{100} = 163.2~(cm)$

(b) Trung vị:
- Tổng tần số $n = 100$,$\frac{n}{2} = 50$
- Tính tổng tích lũy các tần số:
[150,155): 10 ($T_1$)
[155,160): 28 ($T_2$)
[160,165): 60 ($T_3$)
- 50 nằm trong lớp thứ 3 ([160,165)), nên$a = 160$,$f_{med} = 32$,$F_{trc} = 28$,$d = 5$

$Med = 160 + \frac{50-28}{32} \cdot 5 = 160 + \frac{22}{32} \cdot 5 \approx 160 + 3.44 = 163.44~(cm)$

(c) Mốt:
- Lớp có tần số lớn nhất là [160,165) ($f_1=32$), các lớp liền trước:$f_0=18$(lớp [155,160)), liền sau$f_2=28$([165,170)),$a=160$,$d=5$

$Mo = 160 + \frac{32-18}{(32-18)+(32-28)} \cdot 5 = 160 + \frac{14}{18} \cdot 5 \approx 160 + 3.889 = 163.89~(cm)$

Nhận xét: Ba số đặc trưng khá gần nhau, cho thấy số liệu phân bố đều, ít lệch.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

• Tính sai trung điểm các lớp ghép nhóm.
• Chọn sai lớp trung vị, lớp mốt (không xác định đúng vị trí trong tổng tần số).
• Nhầm lẫn hoặc thiếu cận dưới ($a$) hoặc độ rộng lớp ($d$) khi áp dụng công thức.
• Quên cộng tổng tần số trước khi tính trung vị.
• Nhập nhầm số liệu vào máy tính.

8. Kế hoạch ôn tập hiệu quả theo mốc thời gian

a) 2 tuần trước thi:

• Học vững các khái niệm, thuộc lòng công thức và hệ thống bảng số liệu.
• Làm tất cả các dạng bài tập cơ bản của sách giáo khoa, sách bài tập.

b) 1 tuần trước thi:

• Làm bài tập tổng hợp (đề trích từ các đề thi các năm trước)
• Tự giải thử nhiều đề khác nhau, thực hành tính toán trên giấy nháp, check lại kết quả.

c) 3 ngày trước thi:

• Xem lại các lỗi dễ mắc, tổng hợp lý thuyết, công thức và nhẩm lại ví dụ điển hình.
• Thư giãn tinh thần, luyện tập tốc độ giải bài.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Kẻ bảng phụ, ghi rõ tần số, trung điểm, tần số tích trung điểm cho mỗi lớp để tránh nhầm lẫn.
• Xác định lớp trung vị, lớp mốt bằng cách cộng dồn tần số ngay trên giấy nháp.
• Luôn xác định đúng độ rộng lớp$d$bằng cách lấy cận trên trừ cận dưới.
• So sánh kết quả ba số trung tâm, kiểm tra xem đáp số thu được có logic không.
• Thường xuyên thực hành với máy tính bỏ túi để thao tác nhanh.

Có chiến lược rõ ràng và luyện tập đúng trọng tâm là chìa khóa giúp bạn ôn thi các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 11 thật hiệu quả và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới!