Blog

Lớp 11

Hướng dẫn ôn thi CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC lớp 11 - Bí quyết đạt điểm cao

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Tầm quan trọng của ôn thi CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC lớp 11

Chủ đề “Giới hạn. Hàm số liên tục” là nền tảng quan trọng trong chương trình toán lớp 11 và có vai trò quyết định trong các kỳ thi kiểm tra, thi học kì cũng như tạo nền móng cho giải tích lớp 12. Kiến thức về giới hạn, tính liên tục là cơ sở cho phần đạo hàm, tích phân và rất nhiều dạng toán ứng dụng thực tế. Vì thế, việc ôn thi hiệu quả chủ đề này không chỉ giúp bạn vững vàng về đại số mà còn đạt điểm tốt trong các kỳ thi quan trọng.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

  • - Khái niệm về giới hạn của dãy số và hàm số.
  • - Tính chất và các định lý cơ bản về giới hạn.
  • - Các dạng giới hạn đặc biệt: vô cực, dạng 0/0,∞/∞\infty/\infty, v.v.
  • - Định nghĩa và điều kiện liên tục của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.
  • - Các định lý quan trọng: định lý về tính liên tục của hàm hợp, hàm số có giới hạn hữu hạn, v.v.

    • 3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

    a. Giới hạn của dãy số và hàm số:

  • lim⁡x→af(x)=L  ⟺  ∀ε>0,∃δ>0\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0sao cho0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon
  • lim⁡x→∞1x=0\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0;lim⁡x→01x\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}không tồn tại

    • b. Các quy tắc tính giới hạn:

  • Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia giới hạn (nếu các giới hạn thành phần đều hữu hạn):
  • lim⁡x→a[f(x)±g(x)]=lim⁡x→af(x)±lim⁡x→ag(x)\lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x\to a} f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)
  • lim⁡x→a[f(x)⋅g(x)]=lim⁡x→af(x)⋅lim⁡x→ag(x)\lim_{x\to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x\to a} f(x) \cdot \lim_{x\to a} g(x)
  • lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af(x)lim⁡x→ag(x)\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, vớilim⁡x→ag(x)≠0\lim_{x\to a} g(x) \neq 0

    • c. Hàm số liên tục tạix0x_0:

  • Hàmf(x)f(x)liên tục tạix0x_0nếulim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)
  • Điều kiện liên tục trên một khoảng: hàm số liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

    • 4. Phân loại dạng bài tập thường gặp

  • - Dạng 1: Tính giới hạn hàm số khix→ax \to a,x→+∞x \to +\infty,x→−∞x \to -\infty.
  • - Dạng 2: Xác định tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.
  • - Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số liên tục trên một khoảng.
  • - Dạng 4: Xử lý các giới hạn đặc biệt, dạng vô định (0/00/0,∞/∞∞/∞,∞−∞\infty-\infty,000^0,1∞1^\infty,∞0\infty^0).
  • - Dạng 5: Chứng minh các tính chất liên tục, sử dụng các định lý.

    • 5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

    • Với dạng 1: Đề nghị phân tích dạng bài (thay trực tiếp, biến đổi đại số, lập bảng, nhân liên hợp, rút gọn) trước khi áp dụng công thức. Nhớ kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.

    • Với dạng 2 và 3: Viết định nghĩa liên tục, kiểm tra đủ 3 điều kiện: có giới hạn, hàm xác định tại điểm đó, giới hạn bằng giá trị hàm tại điểm. Khi bài cho tham số, thiết lập phương trình liên tục để tìm tham số.

    • Với dạng 4: Chủ động nhận diện dạng vô định. Dùng các phép biến đổi (chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất, nhân liên hợp cho căn, phân tích hằng đẳng thức, sử dụng giới hạn cơ bản).

    • Với dạng 5: Học kỹ các định lý về giới hạn, liên tục; vận dụng đúng định nghĩa và kết hợp các phép biến đổi đại số.

    6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

    Ví dụ 1 (Dạng 1): Tínhlim⁡x→2x2−4x−2\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

    Giải:

  • Ta nhận thấyx→2x \to 2thì tử và mẫu đều về 00(dạng vô định0/00/0). Phân tích tử:x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
  • Do đó x2−4x−2=x+2,\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2,vớix≠2x \neq 2.
  • Vậylim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.

    • Ví dụ 2 (Dạng 2): Xét tính liên tục của hàm số

    f(x)={x+1,x<02x,x≥0f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \\\end{cases}
    tạix=0x = 0.

    Giải:

  • lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−(x+1)=1\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 1
  • lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+2x=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x = 0
  • f(0)=0f(0) = 0.
  • Vì lim⁡x→0−f(x)≠lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)nênf(x)f(x)không liên tục tạix=0x = 0.

    • Ví dụ 3 (Dạng 4): Tính lim⁡x→0sin⁡xx\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.

    Giải: Đây là giới hạn cơ bản trong lượng giác. Kết quả: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

    Ví dụ 4 (Dạng 3): Xác địnhaa để hàm

    f(x)={x2−1(x<1)a(x=1)2x−1(x>1)f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & (x < 1) \\a & (x = 1) \\ 2x - 1 & (x > 1) \\\end{cases}
    liên tục tạix=1x=1.

    Giải:

  • lim⁡x→1−f(x)=12−1=0\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 - 1 = 0;lim⁡x→1+f(x)=2⋅1−1=1\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \cdot 1 - 1 = 1.
  • Để liên tục tạix=1x = 1thì lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)=a\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = a.
  • Nhưng0≠10 \neq 1, nên không tồn tạiaa để hàm liên tục tạix=1x=1.

    • 7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải

  • - Không kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi thay số vào.
  • - Quên đối chiếu điều kiện liên tục (3 điều kiện) khi phân tích tính liên tục.
  • - Xử lý sai các phép biến đổi khi gặp dạng vô định.
  • - Ghi nhớ thiếu công thức giới hạn cơ bản.
  • - Không nhìn ra phương pháp rút gọn, phân tích thành nhân tử hoặc nhân liên hợp khi cần.

    • 8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

  • a. Ôn thi 2 tuần trước ngày thi:
  • - Ôn lại toàn bộ kiến thức lý thuyết, làm bản đồ tư duy.
  • - Luyện các dạng bài tập cơ bản, ghi chú lỗi hay gặp.
  • b. 1 tuần trước thi:
  • - Luyện tập đề tổng hợp, làm các đề thi thử.
  • - Đánh giá điểm yếu còn mắc để chú trọng củng cố.
  • c. 3 ngày trước thi:
  • - Làm bài kiểm tra tốc độ, tự chấm điểm; tập trung các giới hạn đặc biệt và bài toán có yếu tố tham số.
  • - Ngủ đủ giấc, giữ sức khỏe tốt.

    • 9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

  • - Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi thay giá trị vào biểu thức.
  • - Ghi nhớ các giới hạn cơ bản: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, lim⁡x→0(1+x)1/x=e\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e,...
  • - Ưu tiên phân tích và rút gọn biểu thức trước khi tính giới hạn.
  • - Khi gặp bài liên tục, cần viết rõ cả 3 điều kiện ra giấy để tránh nhầm lẫn.
  • - Đọc kỹ đề, tránh bỏ sót điều kiện đi kèm.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Bài trước

    Hướng dẫn ôn thi CHƯƠNG VII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN lớp 11 đầy đủ và dễ hiểu

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".